Разность фаз напряжения и тока
Условимся под разностью фаз j напряжения и тока всегда понимать разность начальных фаз напряжения yu и тока yi { (а не наоборот):
j=yu‑yi. (6.28)
Поэтому на векторной диаграмме угол j отсчитывается в направлении от вектора I к вектору U (рис. 6.10). Именно при таком определении разности фаз угол j равен аргументу комплексного сопротивления. Угол j положителен при отстающем токе (yu>yi) и отрицателен при опережающем токе (yu<yi).
Разность фаз между напряжением и током зависит от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений. При xL>xC имеем x=xL—xC>0 и ток отстает по фазе от напряжения, j=arctg(x/r)>0. При xL=xC имеем x=0, j=0, z=r, ток совпадает по фазе с напряжением, rLC-цепь в целом проявляет себя как активное сопротивление. Это случай так называемого резонанса в последовательном контуре. Наконец, при xL<xC имеем x<0, j<0, ток опережает по фазе напряжение.
Векторные диаграммы для трех возможных соотношений xL и xC даны на рис. 6.11. При построении этих диаграмм начальная фаза тока yi принята равной нулю. Поэтому j и yu равны друг другу.
Рассматривая при заданной частоте цепь по рис. 6.8 в целом как пассивный двухполюсник, можно ее представить одной из трех эквивалентных схем: при xL>xC как последовательное соединение сопротивления и индуктивности (r и x'L=xL—xC), при xL=xC как сопротивление r и при xL<xC как последовательное соединение сопротивления и емкости (r и x'C=xC—xL). При заданных L и С соотношение между xL, и xC зависит от частоты, а потому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.
Выше было принято, что задан ток, а определялись напряжения на элементах и на входных выводах цепи. Однако часто бывает задано напряжение на выводах, а ищется ток. Решение такой задачи не представляет труда. Записав по заданным величинам комплексное напряжение U и комплексное сопротивление Z, определим комплексный ток
I=U/Z
и тем самым действующий ток и начальную фазу тока.
Часто равной нулю принимается начальная фаза заданного напряжения: yu=0. В этом случае, как следует из (6.28), начальная фаза тока yi равна и противоположна по знаку разности фаз j, т. е. yi=—j.
Установленные выше соотношения между амплитудами и действующими токами и напряжениями, а также выражение для сдвига фаз j позволяют вычислить ток и не прибегая к записи закона Ома в комплексной форме. Подробно этот путь решения показан в примере.
Пример. К цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, приложено напряжение u=100sin5000t В. Емкость конденсатора С=5 мкФ, сопротивление катушки r=15 Ом, индуктивность L=12 мГн. Найти мгновенные значения тока в цепи и напряжений на конденсаторе и на катушке.
Решение. Схема замещения цепи показана на рис. 6.8.
xL=wL=5000×12×10‑3=60 Ом;
xC=1/(wС)=1/(5000×5×10‑6)=40 Ом;
x=xL‑xC=60‑40=20 Ом;
;
Im=Um/z=100/25=4 А;
tgj=20/15; j=53°08';
i=4sin(5000t‑53°08') А;
UCm=xCIm=40×4=160 В.
Напряжение на емкости отстает от тока по фазе на 90°, следовательно,
uC=160sin(5000t‑143°08') В.
Комплексное сопротивление катушки
ZКАТ=r+jxL=15+j60=61,8Ð15°58' Ом.
Комплексная амплитуда напряжения на выводах катушки
UКАТm=ZКАТIm=61,8Ð75°58'´4Ð‑53°08'=247,2Ð22°50' В.
Мгновенное напряжение на катушке
uКАТ=247,2sin(5000t+22°50') В.
Пример. В цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, ток I=2 А, его частота f=50 Гц. Напряжение на выводах цепи U=100 В, катушки UКАТ=50 В и конденсатора UС=200 В. Определить сопротивление и индуктивность катушки и емкость конденсатора.
Решение. w=2pf=2p×50=314 рад/с; xC=UС/I=100 Ом и С=1/(wxC)=31,8 мкФ.
Полное сопротивление цепи z=U/I=50 Ом.
Полное сопротивление катушки zКАТ=UКАТ/I=75 Ом;
z2=r2+(xL‑xC)2=r2+(xL)2‑2xLxC+(xC)2;
zКАТ2=r2+(xL)2; z2‑zКАТ2=‑2xLxC+(xC)2; xL=(zКАТ2+(xC)2‑z2)/2xC=65,6 Ом;
L=xL/w=0,209 Гн.
