Ток и напряжение при последовательном соединении резистивного, индукционого и емкостного элементов
Пусть в ветви (рис. 6.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r, L и С, т. е. в последовательном контуре или rLC-цепи, известен ток
i=Imsin(wt+yi).
Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.
На основании второго закона Кирхгофа
ur+uL+uC=u, (6.13)
где
ur=ri=rImsin(wt+yi); (6.14)
uL=Ldi/dt=wLImcos(wt+yi)=wLImsin(wt+yi+p/2); (6.15)
. (6.16)
Постоянная интегрирования в выражении для uC принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидальное.
Из полученных выражений для ur, uL, и uC видно, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол p/2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p/2.
На рис. 6.9 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений в случае, если амплитуда напряжения на индуктивности wLIm больше амплитуды напряжения на емкости Im/wС и yi>0. Синусоида ur совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды uL, и uC сдвинуты относительно синусоиды тока на угол p/2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол p (находятся в противофазе).
Ординаты кривой напряжения
u=Umsin(wt+yu)
согласно (6.13) равны алгебраической сумме ординат кривых ur, uL, и uC.
Определение напряжения u сводится к вычислению амплитуды Um и начальной фазы yu, которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функций времени ur, uL, и uC с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, проще всего задача решается комплексным методом.
Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для их мгновенных значений:
; (6.17)
; (6.18)
; (6.19)
; (6.20)
. (6.21)
В выражениях для UL. и UC учтено, что
ejp/2=cos(p/2)+jsin(p/2)=j, e‑jp/2=cos(‑p/2)+jsin(‑p/2)=‑j=1/j.
Сопоставив выражения для мгновенных напряжений uL, и uC (6.15), (6.16) с комплексными напряжениями UL и UC (6.19), (6.20), можно установить простое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплексной величиной, дифференцирование заменяется умножением на jw а интегрирование — делением на jw.
Сумме синусоидальных напряжений (6.13) соответствует сумма изображающих их векторов или комплексных действующих напряжений:
Ur+UL+UC=U. (6.22)
Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме; оно представлено на векторной диаграмме (рис. 6.10). Напряжение ur совпадает по фазе с током i, поэтому вектор Ur направлен одинаково с вектором I. Напряжение uL опережает по фазе i на p/2, поэтому вектор UL сдвинут относительно вектора I на угол p/2 вперед (против часовой стрелки). Напряжение uC отстает по фазе от i на p/2, поэтому вектор UC сдвинут относительно вектора I на угол p/2 назад (по часовой стрелке).
Соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следует и из записи выражений комплексных напряжений Ur, UL, UC. Вектор Ur (6.18) получается умножением I на действительную величину r. Аргумент комплексной величины rI такой же, как и комплексного тока I, поэтому направление вектора Ur совпадает с направлением вектора I. Вектор UL (6.19) получается умножением I на jwL. Умножение тока I на действительную величину wL не изменяет аргумента, а умножение на j=еjp/2 увеличивает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UL повернут относительно вектора I на угол p/2 «вперед». Вектор UC (6.20) получается делением I на jwС. Деление комплексной величины на wС не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на ‑j=е-jp/2, уменьшает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UC повернут относительно вектора I на угол p/2 «назад».
Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на p/2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель j называют оператором поворота на p/2.
Сложив векторы Ur, UL и UC, получим вектор U. Его длина определяет действующее напряжение
, а положение относительно координатных осей — начальную фазу yu.
Решим ту же задачу аналитически. Теперь уравнение (6.22) будем рассматривать как соотношение между комплексными числами. Подставив в него значения комплексных напряжений, получим
rI+jwLI+I/(jwС)=U
или
U={r+j[wL‑1/(wС)]}I. (6.23а)
Это соотношение между комплексным напряжением и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, получим
, (6.236)
где
. (6.23в)
Так как
и
, то
.
Таким образом, амплитуда Um и начальная фаза yu напряжения на выводах контура определены и можно записать выражение для мгновенного напряжения:
u=Umsin(wt+yi+j). (6.24)
В заключение отметим, что уравнение для комплексных токов и напряжений и векторные диаграммы взаимно связаны. Уравнения можно рассматривать как запись геометрических суммирований векторов, выполняемых на векторной диаграмме, и, наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.
Расчет электрических цепей Видео порно онлайн бесплатно. Цепи постоянного и переменного тока Котлы sime купить. Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей заказ текста Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники
