Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами
Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами.
Предположим, что некоторая величина (ток, напряжение, магнитный поток и т. п.) изменяется по синусоидальному закону:
v=Vmsin(wt+y).
Возьмем прямоугольную систему осей МОN (рис. 6.4). Расположим под углом y относительно горизонтальной оси ОМ вектор Vm, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде Vm (положительные углы y откладываются против, а отрицательные — по часовой стрелке). Представим себе, что вектор Vm с момента t=0 начинает вращаться вокруг начала координат О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте w. В момент времени t вектор составит с осью ОМ угол wt+y. Его проекция на ось N¢N равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины v.
Мгновенные значения v как проекции вектора на ось N¢N можно получить и другим путем, оставляя вектор Vm неподвижным и вращая, начиная с момента t=0, ось N¢N по часовой стрелке с угловой скоростью w. В этом случае вращающуюся ось N¢N называют линией времени.
Таким образом, между мгновенным значением v и вектором Vm можно установить однозначную связь. На этом основании вектор Vm называют вектором, изображающим синусоидальную функцию времени, или, кратко, вектором величины v. Так, например, говорят о векторах напряжения, ЭДС, тока, магнитного потока и т. д. Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, ускорения, напряженности электрического поля и т. п.
Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать подчеркнутыми прописными (большими) буквами. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.
Если считать оси ММ' и NN¢ осями действительных и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор Vm соответствует комплексному числу, модуль которого равен Vm и аргумент — углу y. Это комплексное число Vm называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины.
Комплексную амплитуду можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах:
, (6.5)
где
.
Если вектор Vm, начиная с момента времени t=0, вращается против часовой стрелки с угловой скоростью w, то ему соответствует комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенной величиной:
.
Значение ее мнимой части равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине v.
Таким образом, величина v и ее изображение — комплексная амплитуда — однозначно связаны следующим равенством:
, (6.6)
где символ Im обозначает, мнимую часть комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках.
Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.
Комплексный метод был введен в электротехнику американским ученым и инженером Ч. П. Штейнметцем.
Пример. Написать комплексную амплитуду тока i=10sin(wt‑p/6) А.
Решение. Комплексная амплитуда Im=10Ð-p/6 А.
Заданный ток равен мнимой части комплексной функции времени
Imejwt=Imej(wt-p/6)=10Ð(wt-p/6) А.
Пример. Комплексная амплитуда напряжения Um=‑100+j100 В, частота f=1 кГц. Написать выражение для мгновенного напряжения.
Решение. Угловая частота w=2pf=2p×103=6280 рад/с, амплитуда
; так как действительная часть комплексной амплитуды отрицательная, а мнимая часть положительная, то вектор Um находится во второй четверти и, следовательно, y=Зp/4.
Таким образом, мгновенное значение напряжения
Расчет электрических цепей Тематическое планирование 3 класс математика моро. Математика моро 1 класс . Цепи постоянного и переменного тока Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники купить государственный диплом
