Мощности
Рассмотрим энергетические соотношения в цепи синусоидального тока.
Положим, что за элементарный промежуток времени dt через поперечное сечение прохода в направлении, принятом за положительное для тока i (см. рис. 6.15), проходит электрический заряд dq. Перемещение заряда в направлении, совпадающем с положительным направлением ЭДС источника, сопровождается элементарной работой dA=edq источника. Такая электромагнитная энергия отдается источником во внешнюю цепь и затрачивается на работу dA=udq по перемещению заряда dq в положительном направлении напряжения и через пассивный двухполюсник.
Мгновенная мощность, производимая и отдаваемая источником ЭДС и получаемая двухполюсником, равна скорости совершения работы в данный момент времени:
p=dA/dt=ui.
Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты по фазе на угол j. Примем начальную фазу напряжения yu=0 и найдем из (6.28) начальную фазу тока yi=—j. При таком условии мгновенные значения напряжения и тока
u=Umsinwt; i=Imsin(wt‑j).
Мгновенная мощность
. (3.37)
Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока (рис. 6.17). Мгновенная мощность, получаемая двухполюсником и отдаваемая источником напряжения (ЭДС), положительна, когда у напряжения и u тока i одинаковые знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока в двухполюснике одинаковы и одинаковы действительные направления ЭДС и тока источника (см. рис. 6.15); она отрицательна, когда у напряжения и тока разные знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны и противоположны действительные направления ЭДС и тока источника.
Действительные направления и и I в течение отдельных интервалов времени показаны на рис. 6.17.
Когда мгновенная мощность отрицательна, энергия поступает не в двухполюсник, а возвращается из двухполюсника источнику ЭДС. Такой возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником и поступающая в двухполюсник в течение времени t, равна
. На графике она соответствует площади, ограниченной кривой p и осью абсцисс на интервале времени t. Знаками плюс и минус отмечены заштрихованные площади, соответствующие энергии, поступающей в двухполюсник и возвращаемой источнику.
Если двухполюсник состоит только из резистивных элементов, энергия накопляться в нем не может. В этом случае нет сдвига фаз между напряжением и током (j=0). Знаки тока i и напряжения и в любой момент времени одинаковы и p³0 (см. далее рис. 6.18, а), и нет таких моментов времени, когда энергия возвращалась бы из двухполюсника источнику питания.
Рис. 6.18
Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью, или иногда просто мощностью, и, как следует из (6.37),
. (6.38)
Активная мощность, получаемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник не потреблял бы энергию, а генерировал ее), поэтому всегда cosj³0, т. е. на входе пассивного двухполюсника —p/2<j<p/2. Случай P=0, j=|p/2| теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего резистивных элементов, а содержащего только индуктивные и емкостные.
Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз j между напряжением и током, а полной мощностью
S=UI, (6.39)
равной произведению действующих напряжения и тока.
Очевидно, что полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжении и токе. Отметим также, что амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности (6.37) численно равна полной мощности. Размерность полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной мощности называют вольт-ампер (В×А). Это позволяет при численном выражении полной мощности кратко говорить: мощность столько-то вольт-ампер, так как наименование единицы (вольт-ампер) сразу указывает, что речь идет о полной мощности.
Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:
Р/S=UIcosj/(UI)=cosj. (6.40)
Для лучшего использования электрических машин и аппаратов желательно иметь возможно более высокий коэффициент мощности или возможно меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т. е. стремиться получить cosj=1. Так, например, для питания приемника мощностью 10000 кВт при cosj=0,7 источник питания должен быть рассчитан на мощность 14 300 кВ×А, а при cosj=1 — на 10000 кВ×А.
Высокий коэффициент мощности желателен также для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям. При данной активной мощности Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше значение cosj:
I=Р/(Ucosj).
При расчетах электрических цепей находит применение так называемая реактивная мощность:
Q=UIsinj. (6.41)
Она положительна при отстающем токе (j>0) и отрицательна при опережающем токе (j<0). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вар (название происходит от сокращения слов «вольт», «ампер» и «реактивный»). Это отдельное наименование позволяет говорить вместо реактивная мощность просто мощность, равная стольким-то вар.
Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями
. (6.42)
Для увеличения коэффициента мощности (cosj) приемника нужно, очевидно, уменьшать его реактивную мощность.
В то время как активная мощность определяет (в среднем) совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени, полная и реактивная мощности не определяют ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии за единицу времени. Однако в электроэнергетике по аналогии с понятием активной мощности приписывают реактивной мощности аналогичный смысл, а именно ее рассматривают как мощность отдачи, получения или передачи некоторой величины, которую, хотя она и не является энергией, условно называют реактивной энергией
WP=Qt
Размерность этой величины одинакова с размерностью энергии. Единицу измерения реактивной энергии называют вар-час; напомним, что энергия в электроэнергетике обычно измеряется в ватт-часах. Если наряду с энергией нужно рассматривать и реактивную энергию, то во избежание путаницы для внесения четкого различия этих двух понятий энергию называют активной.
На практике реактивная энергия, как и активная, измеряется счетчиками. При изменяющейся с течением времени нагрузке по показаниям счетчиком можно определить средний коэффициент мощности (cosj)СР, предварительно вычислив
(tgj)СР=WP/WA=QСРt/PСРt=QСР/PСР (6.43)
где WA — активная энергия; PСР и QСР — средние значения активной и реактивной мощностей.
Рассмотрим теперь простой прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности при известных комплексных напряжении и токе. Он заключается в том, что нужно взять произведение комплексного напряжения U и комплекса I*, сопряженного с комплексным током I. Это произведение называют комплексной мощностью, которую обозначают S.
Пусть U=UÐyu, I=IÐyi, так что I*=IÐ‑yi; и S=UI*=UÐyu´IÐ‑yi=UIÐyu‑yi=UIÐj= =UIcosj+jUIsinj, т. е.
S=UI*=Р+jQ. (6.44)
Отсюда видно, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть — реактивной. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S.
Из приведенных выше основных выражений для мощностей S, S, Р и Q получается ряд других выражений, в которые входят параметры пассивного двухполюсника или активные и реактивные составляющие тока и напряжения:
S=UI*=ZII*=ZI2; S=UI*=UY*U*=Y*U2; S=UI=zI2=yU2;
P=UIcosj=UaI=UIa=zI2cosj=rI2=yU2cosj=gU2;
Q=UIsinj=zI2sinj=xI2=yU2sinj=bU2.
Для абсолютного значения реактивной мощности справедливы также выражения
|Q|=UpI=UIp.
Из равенств S=UI, Р=UaI=UIa и |Q|=UpI=UIp следует, что стороны треугольников напряжений и токов пропорциональны мощностям S, Р и |Q|. Подобный им треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны мощностям S, Р и |Q|, называется треугольником мощностей.
МОЩНОСТИ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ
Вся энергия, поступающая в резистивный элемент, преобразуется в тепло. Принимая во внимание, что u=ri, мгновенную мощность можно представить в следующем виде:
p=ui=ri2
Ток совпадает по фазе с напряжением, j=0, cosj=1, и в соответствии с (6.37)
p=UI(1‑cos2wt). (6.45)
Мгновенная мощность колеблется в пределах от 0 до 2UI и не бывает отрицательной (рис. 6.18, а). Активная мощность равна полной мощности, а реактивная мощность равна нулю (sinj=0).
Мгновенные мощности поступления энергии в индуктивный и в емкостный элементы равны скоростям прироста энергии соответственно магнитного и электрического полей.
Действительно, для индуктивности
и для емкости
Так как для индуктивности j=p/2, а для емкости j=—p/2, то для обоих случаев из (6.37) получаем
. (3.46)
Здесь верхние знаки относятся к индуктивности, а нижние — к емкости.
Площади, ограниченные кривыми мгновенных мощностей и осями абсцисс (рис. 6.18,6 и в), пропорциональны энергии, которая поступает в индуктивный или емкостный элементы (отмечены знаком плюс) и возвращается источнику питания (отмечены знаком минус); эти площади равны друг другу. Происходит непрерывный обмен энергией между источником питания и соответственно между магнитным или электрическим полями.
Активные мощности у индуктивного и емкостного элементов равны нулю. Реактивная мощность, получаемая индуктивным элементом, положительна, а получаемая емкостным — отрицательна [sinj=sin(±p/2)=±1]. Отрицательная потребляемая реактивная мощность соответствует положительной отдаваемой. Следовательно, индуктивность можно рассматривать как потребитель реактивной энергии, а емкость — как ее генератор.
Реактивные мощности, получаемые индуктивным и емкостным элементами, можно выразить как произведения угловой частоты со и максимальных значений энергии, периодически запасаемых соответственно в магнитном и электрическом полях:
WMmax=LIm2/2 и WЭmax=CUm2/2.
Действительно, для индуктивного элемента
QL=UIsin(p/2)=wLII=wLIm2/2=wWMmax (6.47)
и для емкостного
QC=UIsin(‑p/2)=‑wCUU=‑wCUm2/2=wWэmax. (6.48)
Отметим, что источники питания могут либо отдавать, либо получать реактивную мощность. Так, источник, питающий индуктивный элемент, отдает, а источник, питающий емкостный элемент, получает реактивную мощность.
