Пассивный двухполюсник
Ток и напряжение на входе любого пассивного двухполюсника (рис. 6.15) связаны законом Ома
U=ZI и I=YI,
где Z и Y — входные комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника.
Входному комплексному сопротивлению Z=r+jx соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления r и реактивного сопротивления x. Последнее в зависимости от знака следует рассматривать либо как индуктивное, либо как емкостное сопротивление. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 6.16, а) сопротивление x показано условно прямоугольником.
Комплексная проводимость
, (6.34)
откуда
g=r/z2; b=x/z2; (6.35)
и, наоборот,
r=gz2=g/y2; x=bz2=b/y2. (3.36)
Из полученных соотношений видно, что b и x всегда имеют одинаковый знак.
Например, для схемы на рис. 6.8 получаем для g и b довольно сложные выражения, причем не только b, но и g зависят от частоты:
.
Наоборот, для схемы на рис. 6.12, состоящей из параллельного соединения элементов, получаются простые выражения для проводимостей, но относительно сложные выражения для сопротивлений, причем и эквивалентное активное сопротивление зависит от частоты. По (6.36)
.
Переход от сопротивления Z=r+jx к проводимости Y=g—jb и обратно соответствует замене схемы цепи с последовательным соединением элементов r и jx эквивалентной схемой с параллельным соединением элементов g и —jb и обратно (рис. 6.16, а и б).
Напряжение U можно разложить на составляющие:
U=ZI=(r+jx)I=rI+jxI=Ua+Up
где Ua=rI — составляющая, совпадающая по фазе с током, называется активной составляющей напряжения; Up=jxI — составляющая, сдвинутая по фазе относительно тока на угол p/2, называется реактивной составляющей напряжения.
Составляющие Ua и Up можно рассматривать как напряжения на элементах r и x эквивалентной схемы.
На рис. 6.16,в представлена векторная диаграмма двухполюсника при j>0, т. е. если x — индуктивное сопротивление. Треугольник, образованный векторами U, Ua и Up со сторонами, пропорциональными z, r и |x|, называется треугольником напряжений. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны сопротивлениям z, r и |x|, называется треугольником сопротивлений. Из треугольника напряжений следует, что
.
Входной комплексной проводимости Y=g—jb соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из параллельного соединения проводимостей g и —jb. Последняя в зависимости от знака либо индуктивная, либо емкостная. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 6.16,6) проводимость b, показана условно прямоугольником. Ток на входе двухполюсника можно разложить на составляющие :
I=YU=(g—jb)U=gU—jbU=Ia+Ip
где Ia=gU — составляющая, совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей тока Ip=—jbU, — составляющая, сдвинутая по фазе относительно напряжения на угол p/2, называется реактивной составляющей тока.
Составляющие Ia и Ip можно рассматривать как токи в элементах g и —jb эквивалентной схемы.
Треугольник, образованный векторами I, Ia и Ip, со сторонами, пропорциональными y, g, |b|, называется треугольником токов. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны проводимостям y, g и |b |, называется треугольником проводимостей.
Из треугольника токов имеем
Пример. Цепь состоит из конденсатора емкостью С=10 мкФ и резистора с сопротивлением r=100 Ом, включенных параллельно. Определить, каковы должны быть емкость конденсатора и сопротивление резистора, чтобы при их последовательном соединении получилась цепь, эквивалентная данной при частоте w=103 рад/с.
Решение. Проводимости данной цепи g=1/r=10-2 См; b=‑bC=‑wС=‑103×10×10‑6=‑10‑2 См; y2=g2+b2=2×10‑4 См2.
Сопротивления данной цепи r=g/y2=50 Ом; x=b/y2=‑50 Ом.
Эквивалентная цепь должна иметь такие же сопротивления. Таким образом, искомое сопротивление резистора 50 Ом, а емкость конденсатора С=—1/wx=20 мкФ.
Пример. Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника (см. рис. 6.15) u=100sin(314t‑15°) В, i=10sin(314t+45°) А.
Определить параметры двух эквивалентных схем двухполюсника, активные и реактивные составляющие напряжения и тока.
Решение.
Um=100Ð‑15° В; Im=10Ð45° А; Z=Um/Im=100Ð‑15°/10Ð45°=10Ð‑60°=5‑j5×31/2 Ом;
Y=1/Z=1/(10Ð‑60°)=0,1Ð60°=0,05+j0,05×31/2 См;
r=5 Ом; x=‑5×31/2 Ом;
g=0,05 См; b=0,05×31/2 См;
j=argZ=yu‑yi=‑15°‑45°=‑60°;
Uam=Umcosj=100соsÐ-60°=50 В;
Upm=Um|sinj|=100|sinÐ-60°|=50×31/2 В;
Iam=Imcosj=10соsÐ60°=5 А;
Upm=Um|sinj|=10|sinÐ-60°|=5×31/2 А;
ua=50sin(314t+45°) В;
up=50×31/2sin(314t‑45°) В;
ia=5sin(314t‑15°) А;
ip=5×31/2sin(314t+75°) А.
