Пользуясь метолом контурных токов, установим еще одно важное свойство линейных электрических цепей — свойство взаимности, или, как его еще называют, принцип взаимности.
Сущность этого свойства заключается в следующем. Пусть в схеме произвольной конфигурации единственный источник ЭДС Еq действует в ветви с сопротивлением rq в направлении от точки b к точке a (рис. 5.3, а) и создает в ветви с сопротивлением rl ток Il направленный от точки d к точке с. Такой же единственный источник ЭДС Еl=Еq, включенный в ветвь с сопротивлением rl и действующий в направлении от d к с (рис. 5.3,б), создаст в ветви с сопротивлением rq ток Iq, направленный от b к a и равный току Il.
На рис. 5.3 изображены ветви ab и cd с сопротивлениями rq и rl, а остальная часть схемы, не содержащая источников энергии, условно показана в виде прямоугольника с буквой П (пассивная).
Для доказательства свойства взаимности запишем систему линейных алгебраических уравнений метода контурных токов:
(5.4)
Здесь ветвь cd является частью контура l, а ветвь ab входит в состав другого контура q (рис. 5.3, а), и, как указано, других источников, кроме источника ЭДС Еq, эта цепь не содержит. Контуры выбраны так, чтобы ветви ab и cd вошли каждая в один контур, соответственно q и l.
Ток в контуре l, равный току ветви dc,
, (5.5)
где: D(K) - определитель системы уравнений (5.4), Dlq - его алгебраическое дополнение, которое получается вычеркиванием из D(K) l-го столбца и q-й строки и умножением полученного определителя на (-1)l+q.
Если источник ЭДС Еq переставить в ветвь cd контура l (рис. 5.3, б) то в правой части системы (5.4) в q-й строке будет 0, а в l-й строке будет Еq. Тогда ток Iq в контуре q, т. е. ток в ветви ab,
, (5.6)
В отличии от Dlq, алгебраическое дополнение вида Dql получается из определителя D(K) вычеркиванием столбца q и строки l и умножением получаемого определителя на (-1)l+q. Так как в контурных уравнениях общие сопротивления rlq, и rql равны друг другу, то и Dlq=Dql (отличаются только тем, что строки Dlq являются столбцами Dql, и наоборот). Следовательно, при равенстве ЭДС Еl=Еq токи в ветвях cd (рис. 5.3,а) и ab (рис. 5.3,б) равны друг другу.
Отметим, что свойство взаимности справедливо не только для токов, но и для напряжений, и его можно также обосновать, пользуясь законами Кирхгофа или методом узловых потенциалов.
