Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь к=(в—у+1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа методом контурных токов; здесь в, как и ранее, — число ветвей и у — число узлов, при этом первый закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется.
Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему на рис. 4.21,а с шестью ветвями и четырьмя узлами. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры.
При выборе независимых контуров можно применять то же правило, что и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для схемы рис. 4.21, а ветви с токами I4, I5 и I6, соединяющие узлы 1, 2, 3, 4, можно выбрать в качестве ветвей дерева (рис. 4.21,6); поэтому ветви с токами I1, I2 и I3 будут ветвями связи. На рис. 4.21,6 элементы ветвей дерева изображены сплошными линиями, а элементы ветвей связи — штриховыми.
Для схем на рис. 4.21, а и б по первому закону Кирхгофа
I1-I4-I3=0, I5+I2-I1=0, I6+I3-I2 =0. (4.41)
На основании второго закона Кирхгофа для трех контуров, каждый из которых включает только одну ветвь связи,
. (4.42)
Пользуясь уравнениями (4.41), исключим из уравнений (4.42) токи I4, I5 и I6 всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров; в результате получим
(4.43)
В соответствии с уравнениями (4.43) можно принять, что каждый из токов I1, I2 и I3 замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рис. 4.21, а и б), и назвать такие токи контурными: I1К=I1; I2К=I2; I3К=I3. Напряжения на резистивных элементах любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из элементов r1 r5 и r4 разность ЭДС Е1—Е4 равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока I1К на всех сопротивлениях этого контура и от токов I2К и I3К соответственно на сопротивлениях r5 и r4. Токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:
I4=I1К-I3К, I5=I1К-I2К, I6=I2К-I3К. (4.44)
Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, пятой и шестой ветвей (рис. 4.21, в), так что вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами I2К, I3К и I4К замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам
I1=I3К+I4К, I5=I3К+I4К-I2К, I6=I2К-I3К.
Выражение для тока I5 получено по первому закону Кирхгофа для токов в ветвях, примененному к главному сечению S5, след которого показан на рис. 4.21, в штриховой линией.
Таким образом, система взаимно независимых уравнений определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.
Схема рис. 4.21, а имеет 16 деревьев, поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающихся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.
Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей В на число узлов схемы без одного (у—1). При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа удовлетворяется для каждого узла, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 4.21, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получим: I4—I5—I6=0, или для контурных токов (I1К-I3К)-(I1К-I2К)-(I2К-I3К)=0.
Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока — ветвью связи — замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.
В качестве примера рассмотрим схему на рис. 4.17. На основании второго закона Кирхгофа
. (4.45)
Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений токи I4, I5 и I6; в результате после группировки слагаемых получим
. (4.46)
Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями r5 и r4, дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.
При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 4.21, а три ячейки с контурными токами I1К, I2К и I3К), руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа, что возможно для любой планарной схемы.
Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях.
Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и ЭДС цепи произвольной конфигурации.
Для схемы, имеющей к независимых контуров, уравнения, аналогичные (4.43), запишутся в виде
(4.48)
В этих уравнениях сопротивление вида rll (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура l, а сопротивление вида rlk=rkl (с двумя различными индексами) — общим сопротивлением контуров l и k. Правые части уравнений (4.48) называются контурными ЭДС. Каждая из контурных ЭДС вида Е, равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (4.48) должны быть взяты для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.
В более общем случае для электрической цепи, которая содержит как источники ЭДС, так и источники тока, контурное уравнение для l-го контура записывается в виде
(4.48а)
где
обозначает собственное сопротивление контура l; rlj — общее сопротивление двух контуров: l и j; Jlj — ток источника тока, замыкающийся по ветви с сопротивлением rlj;
— контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС в контуре).
Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров у—1<к, а методом контурных токов — при у-1>к.
| ;
|