для входного сопротивления можно записать|
|
|
Лекция N 42
Входным сопротивлением длинной линии (цепи с распределенными параметрами) называется такое сосредоточенное сопротивление, подключение которого вместо линии к зажимам источника не изменит режим работы последнего. Линия без искажений. Уравнения линии конечной длины. Определение параметров длинной линии. Линия без потерь. Стоячие волны.
В общем случае для линии с произвольной
нагрузкой
для входного сопротивления можно записать
. | (1) |
Атом водорода Электрон в поле кулоновского центра Задача об атоме водорода – одна из фундаментальных проблем квантовой механики, успешное решение которой способствовало дальнейшему развитию теории.
Полученное выражение показывает, что входное сопротивление является функцией
параметров линии 
и 
, ее длины 
и нагрузки 
. При этом зависимость входного сопротивления от длины линии, т.е. функция 
, не является монотонной, а носит колебательный характер, обусловленный влиянием
обратной (отраженной) волны. С ростом длины линии как прямая, так соответственно
и отраженная волны затухают все сильнее. В результате влияние последней ослабевает
и амплитуда колебаний функции 
уменьшается. При согласованной нагрузке, т.е. при 
, как было показано ранее, обратная волна отсутствует, что полностью соответствует
выражению (1), которое при 
трансформируется в соотношение
.
Такой же величиной определяется входное сопротивление при 
.
При некоторых значениях длины линии ее входное сопротивление может оказаться
чисто активным. Длину линии, при которой 
вещественно, называют резонансной. Как и в цепи с сосредоточенными параметрами,
резонанс наиболее ярко наблюдается при отсутствии потерь. Для линии без потерь
на основании (1) можно записать
. | (2) |
Из (2) для режимов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ), т.е. случаев, когда потребляемая нагрузкой активная мощность равна нулю, соответственно получаем:
; | (3) |
. | (4) |
Исследование
характера изменения 
в зависимости от длины 
линии на основании (3) показывает, что при 
по модулю изменяется в пределах 
и имеет емкостный характер, а при 
- в пределах 
и имеет индуктивный характер. Такое чередование продолжается и далее через отрезки
длины линии, равные четверти длины волны (см. рис. 1,а).
В соответствии
с (4) аналогичный характер, но со сдвигом на четверть волны, будет иметь зависимость
при КЗ (см. рис. 1,б).
Точки,
где 
, соответствуют резонансу напряжений, а точки, где 
, - резонансу токов.
Таким образом, изменяя длину линии без потерь, можно
имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой величины. Поскольку длина
волны 
есть функция частоты, то аналогичное изменение 
можно обеспечить не изменением длины линии, а частоты генератора. При некоторых
частотах входное сопротивление цепи с распределенными параметрами также становится
вещественным. Такие частоты называются резонансными. Таким образом, резонансными
называются частоты, при которых в линии укладывается целое число четвертей волны.
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами имеют характер блуждающих волн, распространяющихся по цепи в различных направлениях. Эти волны могут претерпевать многократные отражения от стыков различных линий, от узловых точек включения нагрузки и т.д. В результате наложения этих волн картина процессов в цепи может оказаться достаточно сложной. При этом могут возникнуть сверхтоки и перенапряжения, опасные для оборудования.
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами возникают при различных изменениях режимов их работы: включении-отключении нагрузки, источников энергии, подключении новых участков линии и т.д. Причиной переходных процессов в длинных линиях могут служить грозовые разряды.
Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами
При рассмотрении схемы замещения цепи с распределенными параметрами были получены дифференциальные уравнения в частных производных
; | (5) |
 | (6) |
Их
интегрирование с учетом потерь представляет собой достаточно сложную задачу. В
этой связи будем считать цепь линией без потерь, т.е. положим 
и 
. Такое допущение возможно для линий с малыми потерями, а также при анализе начальных
стадий переходных процессов, часто наиболее значимых в отношении перенапряжений
и сверхтоков.
С учетом указанного от соотношений (5) и (6) переходим к уравнениям
| (7) |
| (8) |
Для получения уравнения (7) относительно одной переменной продифференцируем (7) по х, а (8) – по t:
; | (9) |
. | (10) |
Учитывая,
что для линии без потерь 
, после подстановки соотношения (10) в (9) получим
. | (11) |
Аналогично получается уравнение для тока
. | (12) |
Волновым уравнениям (11) и (12) удовлетворяют решения
;
.
Как и ранее, прямые и обратные волны напряжения и тока связаны между собой законом Ома для волн
и 
,
где 
.
При расчете переходных процессов следует помнить:
Переходные
процессы при включении на постоянное напряжение
разомкнутой и замкнутой на
конце линии
При замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение в начале
линии сразу же достигает величины 
, и 
возникают
прямые волны прямоугольной формы напряжения 
и тока 
, перемещающиеся вдоль линии со скоростью V (см. рис. 3,а).Во всех точках линии,
до которых волна еще не дошла, напряжение и ток равны нулю.Точка, ограничивающая
участок линии, до которого дошла волна, называется фронтом волны. В рассматриваемом
случае во всех точках линии, пройденных фронтом волны, напряжение равно 
, а ток - 
.
Отметим, что в реальных условиях форма волны, зависящая от внутреннего сопротивления источника, параметров линии и т.п., всегда в большей или меньшей степени отличается от прямоугольной.
Кроме того, при подключении к линии источника с другим законом изменения напряжения форма волны будет иной. Например, при экспоненциальном характере изменения напряжения источника (рис. 4,а) волна будет иметь форму на рис. 4,б.
В
рассматриваемом примере с прямоугольной волной напряжения при первом пробеге волны
напряжения и тока (см. рис. 3,а) независимо от нагрузки имеют значения соответственно
и 
, что связано с тем, что волны еще не дошли до конца линии, и, следовательно,
условия в конце линии не могут влиять на процесс.
В момент времени 
волны напряжения и тока доходят до конца линии длиной l, и нарушение однородности
обусловливает появление обратных (отраженных) волн. Поскольку в конце линия разомкнута,
то
,
откуда 
и 
.
В результате (см. рис. 3,б) напряжение в линии, куда дошел фронт волны, удваивается, а ток спадает до нуля.
В момент времени 
, обратная волна напряжения, обусловливающая в линии напряжение 
, приходит к источнику, поддерживающему напряжение 
. В результате возникает волна напряжения 
и соответствующая волне тока 
(см. рис. 3,в).
В момент времени 
волны напряжения и тока подойдут к концу линии. В связи с ХХ 
и 
(см. рис. 3,г). Когда эти волны достигнут начала линии, напряжение и ток в ней
окажутся равными нулю. Следовательно, с этого момента переходный процесс будет
повторяться с периодичностью 
.
В случае короткозамкнутой на конце линии в интервале времени 
картина процесса соответствует рассмотренной выше. При 
, поскольку в конце линии 
и 
, что приведет к возрастанию тока в линии за фронтом волны до величины 
. При 
от источника к концу линии будет двигаться волна напряжения 
и соответствующая ей волна тока 
, обусловливающая ток в линии, равный 
, и т. д. Таким образом, при каждом пробеге волны ток в линии возрастает на 
.
Отметим, что в реальном случае, т.е. при наличии потерь мощности, напряжение в линии в режиме ХХ постепенно выйдет на уровень, определяемый напряжением источника, а ток в режиме КЗ ограничится активным сопротивлением и проводимостью линии, а также внутренним сопротивлением источника.
Литература
Контрольные вопросы и задачи
, фазовая скорость волны 
. При каких частотах в ней будут иметь место минимумы и максимумы входного сопротивления?Ответ:
.
?Ответ: 
.
Расчёт электрического поля, усилий, энергии и электрических параметров простейших
конструкций
Целью задания является закрепление теоретического материала, излагаемого
в первой части курса - физические основы электротехники (ФОЭ). Теоретическая часть
расчётов базируется на уравнениях поля в интегральной форме. Особенности конструкций
элементов (сферическая и цилиндрическая симметрия) существенно упрощают расчётную
часть и позволяют при выполнении задания сосредоточить внимание на физи-ческой
стороне процессов.
Расчёт магнитной цепи с магнитопроводом Явление
электромагнитной индукции Справочник по основным разделам физики
постоянной
магнитной проницаемости
Целью задания является закрепление теоретического
материала, изложенного в первой части курса - физические основы электротехники
(ФОЭ). Теоретическая часть расчётов базируется на интегральных поня-тиях магнитной
цепи: магнитном потоке, магнитном напряжении, маг-нитодвижущей силе (м.д.с.) и
других. Предлагается линейный вариант магнитной цепи, т.е. пренебрегается зависимостью
магнитной прони-цаемости среды (ферромагнитного материала) от напряжённости маг-нитного
поля.
Законы Кирхгофа и расчёт
резистивных электрических цепей
Целью
задания является закрепление теоретического материала, излагаемого в первой части
курса - в разделе " методы расчёта линей-ных электрических цепей". Заданием
предусмотрена отработка расчёт-ных приёмов, основанных на использовании: законов
Кирхгофа, прин-ципа наложения, сворачивания цепей со смешанными соединениями ветвей,
простейших преобразований резистивных цепей, а так же расчё-та резистивных цепей
методами контурных токов, узловых напряжений и эквивалентного генератора.
| ;
|