При
наличии в цепи синусоидальной ЭДС
для перехода от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения
берется мнимая часть, т.е. выражение при j. Если при этом в цепи также имеют место
другие источники, например, постоянной Е и экспоненциальной
ЭДС, и начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений
на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все введены в формулу предварительно
умноженными на j, поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой
части от формулы разложения, т.е.
.
Принужденной составляющей от действия источника синусоидальной ЭДС в
формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое корнем
. Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким,
в связи с чем принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять
отдельно символическим методом, а свободную – операторным.
Комплексно-сопряженным
корням уравнения
в формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в
сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексно-сопряженных
корней имеет место
.
Последовательность расчета переходных
процессов операторным методом
1. Определение независимых начальных
условий путем расчета докоммутационного режима работы цепи.
2. Составление
операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями
этот этап может быть опущен).
3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или
другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий.
4.
Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.
5.
Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов
и изображений) по найденным изображениям.
В качестве примера использования
операторного метода определим ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 1.
С
учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока
.
Для нахождения оригинала
воспользуемся формулой разложения при нулевом корне
,
(1)
где
,
.
Корень уравнения
.
Тогда
и
.
Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим
.
Воспользовавшись предельными соотношениями, определим
и
:
Формулы
включения
Формулу разложения можно использовать для расчета переходных
процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые,
то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального
напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения,
вытекающие из формулы разложения.
Формула включения на экспоненциальное
напряжение
,
(2)
где
- входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви
с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление,
определяющее ток в ней по закону Ома);
- к-й корень уравнения
.
Формула включения на постоянное напряжение
(вытекает из (2) при
)
.
Формула включения на синусоидальное напряжение
(формально вытекает из (2) при
и )
.
В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис.
2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением
;
;
.
В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует
воспользоваться формулой (2). В ней
. Тогда корень уравнения
. Производная
и
.
В результате
.
Сведение расчета переходного процесса
к расчету с нулевыми начальными условиями
Используя принцип наложения,
расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми
начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем
с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника
в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону
Ома с использованием формул включения.
Методику сведения цепи к нулевым
начальным условиям иллюстрирует рис. 3, на котором исходная схема на рис. 3,а
заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3,б, где
. Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы;
при этом в схеме на рис. 3,в составляющая
общего тока
равна нулю. Таким образом, полный ток
равен составляющей тока
в цепи на рис. 3,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД,
т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.
Следует отметить, что если
определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 3,г.
При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он
будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого
подключением ЭДС
к пассивному двухполюснику.
Аналогично можно показать, что отключение ветви,
не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением
в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему
навстречу ему.
Переходная
проводимость
При рассмотрении метода наложения было показано, что ток
в любой ветви схемы может быть представлен в виде
,
где
- собственная (к=m) или взаимная
проводимость.
Это соотношение, трансформированное в уравнение
,
(3)
будет
иметь силу и в переходном режиме, т.е. когда замыкание ключа в m-й ветви подключает
к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного напряжения
. При этом
является функцией времени и называется переходной проводимостью.
В соответствии
с (3) переходная проводимость численно равна току в ветви при подключении цепи
к постоянному напряжению
.
Переходная функция по напряжению
Переходная
функция по напряжению наиболее часто используется при анализе четырехполюсников.
Если линейную электрическую цепь с нулевыми начальными условиями подключить
к источнику постоянного напряжения
, то между произвольными точками m и n цепи возникнет напряжение
,
где
- переходная функция по напряжению, численно равная напряжению между точками
m и n схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения
.
Переходную проводимость
и переходную функцию по напряжению
можно найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями.
В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.
В этой схеме
,
где
.
Тогда переходная проводимость
.
Переходная функция по напряжению
.
Литература
Основы теории цепей:
Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд.,
перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Бессонов Л.А. Теоретические
основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических,
энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб.
и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Теоретические основы электротехники.
Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные
электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные
вопросы
Как в формуле разложения учитываются при наличии источника
синусоидальной ЭДС источники других типов, а также ненулевые начальные условия?
Как
целесообразно проводить расчет переходных процессов операторным методом в сложных
цепях при синусоидальном питании?
Проведите сравнительный анализ классического
и операторного методов.
Какие этапы включает в себя операторный метод
расчета переходных процессов?
Из формулы включения на какое напряжение
вытекают другие варианты ее записи? Запишите формулы включения.
В каких
случаях применяются формулы включения?
Чему численно соответствуют переходная
проводимость и переходная функция по напряжению?
На основании решения
задачи 7 в задании к лекции № 27 с использованием формулы разложения определить
ток в ветви с индуктивным элементом, если параметры цепи:
.
Ответ:
.
С использованием формулы включения найти ток
в неразветвленной части цепи на рис. 5,
если
:
;
; .
Ответ:
.
Системы электропитания радиоэлектронной аппаратуры, устройств автоматики, промышленной
электроники, средств связи, информационно-измерительной и вычислительной техники
содержат, как правило, источник электропитания (первичный) и источник вторичного
электропитания. В качестве источников электропитания используются электростанции,
автономные электромашинные генераторы постоянного и переменного тока, химические
источники (аккумуляторы и гальванические батареи), солнечные и атомные батареи,
МГД-генераторы, термоэлектрические и термоэлектронные генераторы. Первичные
источники в большинстве случаев не удовлетворяют требованиям со стороны потребителей
или части потребителей электроэнергии по роду, величине и качеству вырабатываемого
напряжения, по возможностям его стабилизации или регулирования. Основные функции
источника вторичного электропитания, включаемого между источником электропитания
и потребителями, состоит в однократном или многократном преобразовании тока
– выпрямлении или инвертировании, изменении величины напряжении – трансформировании
для переменного тока и конвертировании для постоянного, преобразовании частоты
переменного тока, стабилизации и регулировании напряжения или тока, подавлении
пульсаций и шумов выходного напряжения или тока – фильтрации. Причем источники
вторичного электропитания могут выполнять одну из указанных функций или некоторую
их комбинацию.
Статический трансформатор – устройство, предназначенное для изменения величины
переменного напряжения – является практически обязательным структурным элементом
источника вторичного электропитания. При наличии первичного источника, вырабатывающего
переменное напряжение, трансформатор достаточно часто включается в источник
вторичного электропитания в качестве входного элемента. В этом случае трансформатор
называется силовым, и его функциональное назначение заключается в преобразовании
входной системы переменного напряжения (однофазной или трехфазной) в одну или
несколько других систем переменных напряжений, используемых для питания соответствующих
потребителей постоянного и переменного тока. При этом выходные напряжения трансформатора
по величинам согласованы с требованиями со стороны потребителей. В системах
питания электронной аппаратуры применяются силовые трансформаторы малой мощности.
Они в большинстве случаев работают при низких напряжениях на обмотках (до 1
кВ), синусоидальной или близкой к синусоидальной форме преобразуемого напряжения
и частоте равной 50 Гц (частоте промышленной сети) или 400 Гц (стандартной частоте
автономных источников электропитания подвижных объектов).
для перехода от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения
берется мнимая часть, т.е. выражение при j. Если при этом в цепи также имеют место
другие источники, например, постоянной Е и экспоненциальной 
ЭДС, и начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений
на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все введены в формулу предварительно
умноженными на j, поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой
части от формулы разложения, т.е.
.
. Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким,
в связи с чем принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять
отдельно символическим методом, а свободную – операторным.
в формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в
сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексно-сопряженных
корней имеет место
.
Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов
и изображений) по найденным изображениям.
.
воспользуемся формулой разложения при нулевом корне
, 
, 
.
.
.
.
и 
:
, 
- входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви
с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление,
определяющее ток в ней по закону Ома); 
- к-й корень уравнения 
.
(вытекает из (2) при 
)
.
(формально вытекает из (2) при 
и 
)
В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис.
2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением 
; 
; 
.
. Тогда корень уравнения 
. Производная 
и 
.
.
. Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы;
при этом в схеме на рис. 3,в составляющая 
общего тока 
равна нулю. Таким образом, полный ток 
равен составляющей тока 
в цепи на рис. 3,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД,
т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.
к пассивному двухполюснику.
,
- собственная (к=m) или взаимная 
проводимость.
, 
. При этом 
является функцией времени и называется переходной проводимостью.
.
, то между произвольными точками m и n цепи возникнет напряжение 
,
- переходная функция по напряжению, численно равная напряжению между точками
m и n схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения 
.
и переходную функцию по напряжению 
можно найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями.
В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.
,
.
.
.
.
.
в неразветвленной части цепи на 
;
;
. 
.