Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами

Анализ переходных процессов даже для относительно простых цепей зачастую представляет значительные сложности, т.к. требует решения дифференциальных уравнений. Задачу можно существенно упростить, если преобразовать уравнения, сделав их алгебраическими. Но в переходных процессах во всех функциях переменной величиной является время, поэтому для исключения производных требуется перейти к новой не зависящей от времени переменной. Такой переход для функции f(t) можно осуществить, например, с помощью преобразования Лапласа

где p = a + jb - некоторое комплексное число, являющееся переменной функции F(p).

Функция времени f(t) называется оригиналом, а функция комплексной переменной F(p) - ее изображением.

где интеграл вычисляется по прямой на плоскости комплексной переменной p, проходящей параллельно мнимой оси правее всех особых точек функции F(p).

Переход от изображения к оригиналу функции может быть выполнен также с помощью формулы разложения.

Обычно изображение искомой величины F(p) получают (или его можно представить) в виде рациональной дроби

Это выражение при условии, что n < m и знаменатель не имеет кратных корней, можно разложить на сумму простых дробей

где p_k - корни уравнения F₂(p) = 0.

Определим постоянные A_k. Для этого обе части выражения (4) умножим на (p-p₁)

При p = p₁ правая часть выражения (5) равна A₁, а левая становится неопределенной, т.к. F₂(p₁) = 0. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим

Следовательно, каждая постоянная в выражении (4) представляет собой отношение числителя исходной дроби к производной от знаменателя при подстановке в них соответствующего корня уравнения F₂(p) = 0. Отсюда

Оригинал функции F(p) можно найти из выражения (7). В нем каждое слагаемое представляет некоторый постоянный коэффициент F₁(p_k)/F₂^'(p_k), умноженный на функцию 1/( p-p_k), оригиналом которой (см. таблицу 1) является e^pkt. Таким образом

• Если один из корней уравнения F₂(p) = 0 равен нулю, то это означает наличие в цепи источника постоянного тока. При этом знаменатель изображения имеет вид F₂(p₁) = pF₂(p₁) и формулу разложения можно представить как

.

(9)

• Если среди корней уравнения F₂(p) = 0 есть комплексно-сопряженные пары, то соответствующие им слагаемые выражения (8) также будут комплексно-сопряженными и в сумме дадут вещественное число. Поэтому для такой пары корней достаточно вычислить значение слагаемого только для одного корня, а затем взять его удвоенную вещественную часть.
• При наличии в цепи источника синусоидальной переменной ЭДС или тока с частотой w в спектре корней уравнения F₂(p) = 0 будет пара комплексно-сопряженных чисто мнимых корней ±jw, которая соответствует установившемуся значению. Вычисление установившегося значения по формуле разложения часто более сложно, чем символическим методом, которым в данном случае можно воспользоваться, пренебрегая соответствующими слагаемыми.

.

где - интеграл n-го порядка.

Важнейшим свойством преобразования Лапласа, позволяющим алгебраизировать дифференциальные уравнения оригиналов, является то, что при нулевых начальных значениях функции и всех ее производных операции дифференцирования оригинала соответствует умножение изображенияна p, а операции интегрирования - деление.

В электрических цепях производными и интегралами выражаются токи и напряжения реактивных элементов L и C. Найдем для них изображения падений напряжения.

где i(0) - значение тока в момент коммутации. Произведение pL связывает между собой изображения тока и напряжения при нулевых начальных условиях и может рассматриваться как изображение индуктивности L. Величина Li(0) является константой и имеет размерность изображения падения напряжения. Следовательно, ее в области изображений можно представить источником постоянной ЭДС равной Li(0).

где u_C(0) - значение напряжения на емкости в момент коммутации. Величина 1/(pC) в выражении (11) связывает между собой изображения тока и напряжения при нулевых начальных условиях и может считаться изображением емкости C. Второе слагаемое изображения напряжения величина постоянная и может быть представлена в области изображений соответствующим источником ЭДС.

Для резистора связь между током и напряжением в области оригиналов соответствует умножению тока на постоянную величину R. Поэтому изображение напряжения на резисторе будет равно произведению изображения тока на константу R.

Выражения (10) и (11) позволяют представить электрической схемой изображения величин. Электрическая схема, в которой все величины и элементы представлены изображениями называется операторной схемой замещения. Пассивные элементы электрической цепи и их схемы замещения приведены в таблице 3.

Таким образом, операторную схему замещения можно получить из электрической схемы цепи, если в ней все элементы заменить изображениями в соответствии с таблицей 3, а источники электрической энергии представить источниками, у которых оригинальная ЭДС или ток заменены их изображением по Лапласу.

Проделаем эту операцию для ветви, показанной на рис. 1 а). В нее включены все элементы электрической цепи, которые могут входить в последовательное соединение.

Заменяя в ветви все пассивные элементы их изображениями и включив в нее источники ЭДС, соответствующие начальным значениям тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации, мы получим операторную схему замещения, представленную на рис. 1 б).

Перегруппируем элементы, так, чтобы изображения пассивных элементов находились вместе и, пользуясь свойствами линейного преобразования (таблица 2), запишем выражение для изображения падения напряжения между узлами a и b в виде

Выражение Z(p)=R+pL+1/(pC) называется операторным сопротивлением участка цепи. Нетрудно заметить, что оно равно комплексному сопротивлению, если в нем оператор p заменить на jw. Отсюда изображение тока в ветви

где q и w - соответственно число индуктивностей и емкостей в контуре с ненулевыми начальными значениями. Выражение второго закона Кирхгофа для изображений отличается от записи для оригиналов наличием дополнительных ЭДС, соответствующих начальным значениям токов в индуктивностях и напряжений на емкостях. Если же применять этот закон к операторной схеме замещения, где начальные значения учтены источниками ЭДС, то формально составление уравнений будет полностью аналогично области оригиналов, только число источников будет больше на число ненулевых начальных значений.

Найдем токи протекающие в электрической цепи рис. 2 а) после замыкания ключа, если E = 100 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 5 Ом, L = 100 мГн , C = 10 мкФ и в момент коммутации емкость была полностью разряжена.

Так как до замыкания ключа S ток в индуктивности и напряжение на емкости были равны нулю, то в операторной схеме замещения не будет источников ЭДС, соответствующих начальным значениям, и она будет иметь вид, представленный на рис. 2 б).

,

где b₂ = R₁LC; b₁ = L+R₁R₂C; b₀ = R₁+R₂; a₂ = LC; a₁ = R₂C.

Изображение тока I₁(p) по закону Ома будет

при данных задачи равные p₁ = - 261 и p₂ = - 4789. Таким образом, переходный процесс в цепи апериодический и будет продолжаться 3t₁ = 3/261 = 11.5 мс.

Для определения оригинала тока воспользуемся выражением (9). Тогда ток i₁будет

,

где Z₂(p) = R₂+pL иZ₃(p) = 1/(pC) операторные сопротивления соответствующих ветвей. Подставиввыражение для I₁(p), получим изображение I₃(p)

Таким образом, ток в емкости i₃в момент коммутации скачком возрастает от гуля до 5.0 А, а затемапериодически спадает до нуля. Ток в индуктивностиi₂в момент коммутации равен нулюи далее монотонновозрастает до установившегося значения, равного 4.0 А. Входной ток после замыкания ключа скачком возрастает до 5.0 А и со временем снижается до 4.0 А.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Классификация электрических цепей и их элементов

Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов, предназначенных для распределения, взаимного преобразования и передачи электрической и других видов энергии и (или) информации. Свое назначение цепь выполняет при наличии в ней электрического тока. Электромагнитные процессы в цепи и ее параметры могут быть описаны с помощью известных из курса физики интегральных понятий: ток, напряжение (разность потенциалов), заряд, магнитный поток, электродвижущая сила, сопротивление, индуктивность, взаимная индуктивность и емкость.

В отличие от электрической цепи электромагнитные процессы в ряде электротехнических устройств характеризуются дифференциальными понятиями: вектор напряженности электрического поля и вектор электрического смещения, вектор напряженности магнитного поля и вектор магнитной индукции, плотность заряда и вектор плотности тока, удельная электрическая проводимость и др. Анализ устройств, процессы в которых описываются с помощью дифференциальных понятий, рассматривают в теории электромагнитного поля.

Следует отметить, что именно в теории поля дается определение интегральных понятий (таких, как ток и напряжение), характеризующих электрическую цепь. Расчет параметров цепи (сопротивлений, индуктивностей, емкостей) в общем случае также возможен только с помощью понятий, используемых в теории поля.

В некоторых случаях одно и то же устройство можно анализировать и методами теории цепей, и методами теории поля. Например, линия передачи электрической энергии может рассматриваться как цепь с распределенными параметрами или как направляющая система для электромагнитного поля. Выбор того или иного метода зависит от конкретных целей анализа, необходимой точности и других факторов.

Электрическая цепь состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых элементами цепи.

Основными элементами цепи являются источники и приемники электрической энергии (сигналов).

Источники энергии (сигналов), такие, как электромеханические или электронные генераторы, аккумуляторы, гальванические элементы, термодатчики и т. д., предназначены для преобразования различных видов энергии в электрическую энергию.

Приемники энергии (сигналов) служат для преобразования электрической энергии в другие виды энергии. К ним относятся электрические двигатели, нагревательные приборы, электрические лампы, электронно-лучевые трубки, динамические громкоговорители и др.

Кроме основных элементов, цепь содержит различные вспомогательные элементы, которые связывают источники с приемниками (соединительные провода, линии передачи), подавляют или усиливают определенные составляющие сигналов (фильтры, усилители), изменяют уровень напряжения и тока в других частях цепи (трансформаторы), улучшают или изменяют характеристики и параметры участков цепи и ее элементов (корректирующие устройства, фазовые звенья) и т. п.

Расчет электрических цепей Цепи постоянного и переменного тока Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники