Электрические цепи переменного тока

Треугольники напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей

Как известно, любая электрическая цепь состоит или может быть представлена в виде двухполюсников. Пассивный двухполюсник однозначно определяется значениями тока и напряжения на входе или их отношением.

Пусть через некоторый двухполюсник протекает переменный ток и существует падение напряжения. Изобразим ток и напряжение на входе двухполюсника векторами на комплексной плоскости I и U (рис. 1).

Проектируя вектор U на направление вектора I (рис. 1 а)), получим вектор, модуль которого равен U_а=Ucosj , где j - разность начальных фаз напряжения и тока на входе двухполюсника, причем, направление вектора U_а совпадает с направлением вектора тока, поэтому его запись в показательной форме будет иметь вид

где y_i - начальная фаза тока на входе двухполюсника.

Перпендикуляр, опущенный из конца вектора U на направление вектора тока, имеет длину Usinj и может рассматриваться как некоторый вектор U_р , сумма которого с вектором U_а равна U (рис. 1 а)). Его также можно записать в показательной форме в виде

Оператор поворота j в выражении (2) учитывает перпендикулярное положение вектора U_р по отношению к I и условие U_а + U_р = U.

Так как по построению векторы U_а и U_р в сумме равны U, то из выражений (1) и (2) вектор напряжения на входе двухполюсника можно представить как

Выражение (4) соответствует представлению на комплексной плоскости вектора Z, равного комплексному сопротивлению двухполюсника и развернутого относительно вещественной оси на угол y_i. При этом вектор Ze^jje ^jyi=Ze^{j(yu-y i+yi)}= Ze ^jyu образует с вещественной осью комплексной плоскости угол y_u , т.е. оказывается совпадающим по направлению с вектором U.

Сравнивая вещественные и мнимые части выражений (3) и (4), можно представить модули составляющих вектора U в виде

т.е. модуль составляющей U_а , называемой активной или резистивной составляющей напряжения на входе двухполюсника, представляет собой падение напряжения на резистивной составляющей его комплексного сопротивления при токе I . Аналогично, модуль вектора U_р , называемого реактивной составляющей входного напряжения, является падением напряжения на реактивной составляющей комплексного сопротивления.

Рассмотренным соотношениям величин соответствует представление двухполюсника последовательным соединением резистора R и реактивного сопротивления X, представленным на рис. 1 а).

Прямоугольные треугольники UU_аU_р и ZRX (рис. 1 а)) подобны и называются соответственно треугольниками напряжений и сопротивлений.

 Спроектируем теперь вектор тока I на направление вектора падения напряжения U(рис. 1 б)). Длина проекции будет равна I_а=Icosj , а длина проектирующего перпендикуляра - I_р=Isinj . Представим эти отрезки векторами с учетом того, что I_а совпадает с направлением вектора падения напряжения на входе двухполюсника, а в сумме эти два вектора должны быть равны I . Тогда в показательной форме -

Множитель -j является оператором поворота отрезка I_р на 90° в направлении отставания, чтобы обеспечивалось условие I_а + I_р = I .

Разделим выражение (8) на модуль вектора U -

Таким образом, из прямоугольного треугольника, составленного из векторов I_а, I_р и I и описанного выражением (8), делением на постоянную величину U всех его сторон мы получили подобный треугольник, описываемый выражением (9). Стороны нового треугольника имеют размерность проводимости и связаны с составляющими вектора тока законом Ома

Следовательно, активную и реактивную составляющую вектора тока можно представить, в виде токов, протекающих через активную (резистивную) проводимость G и реактивную проводимость B эквивалентной параллельной схемы двухполюсника (рис. 1 б)).

Прямоугольные треугольники II_аI_р и YGB(рис. 1 б)) подобны и называются соответственно треугольниками токов и проводимостей. Очевидно, что треугольники токов и проводимостей подобны треугольникам напряжений и сопротивлений, т.к. имеют одинаковые углы.

• активная (резистивная) и реактивная составляющие вектора напряжения на входе двухполюсника соответствуют падениям напряжения на резистивном и реактивном сопротивлениях последовательной эквивалентной схемы (схемы R-X);
• активная (резистивная) и реактивная составляющие вектора тока на входе двухполюсника соответствуют токам, протекающим через резистивную и реактивную проводимости параллельной эквивалентной схемы (схемы G-B);
• понятиями активной и реактивной составляющих тока и напряжения можно пользоваться, не связывая их с какой-либо эквивалентной схемой двухполюсника, т.к. из подобия треугольников напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей следует взаимно однозначная связь этих величин.

Принцип наложения. Основным свойством линейной электриче-ской цепи является принцип наложения (принцип суперпозиции): реак-ция линейной электрической цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности. На этом принципе основан метод расчёта сложных цепей - метод наложения. Существо метода заключается в том, что в цепи, со-держащей несколько источников, реакцию (искомый ток или напряже-ние) можно определить как сумму реакций, создаваемых каждым воз-действием (источником) в отдельности, т.е. полагается, что каждый ис-точник действует независимо.
Для этого ЭДС и задающие токи всех источников цепи, за исклю-чением одного, полагают равными нулю. Определяют токи и напряже-ния, создаваемые единственным оставшимся источником. Эти токи и напряжения называют частичными. Остальные частичные токи и напря-жения определяют аналогично, исключением остальных источников. Исключённый источник заменяется его внутренним сопротивлением. Идеальный источник напряжения (rвн = 0) заменяется коротким замыка-нием, а идеальный источник тока (rвн = ?) заменяется обрывом. Иско-мый ток (напряжение) находят как алгебраическую сумму частичных токов (напряжений). Знак "плюс" у тех слагаемых, направление которых совпадает с УПН искомого тока или напряжения.

Расчет электрических цепей отопление в загородный дом, фото Цепи постоянного и переменного тока Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники