Примеры решения задач по математике

 

Пример 7. Используя метод логарифмического дифференцирования, вычислить производную функции .

Решение. Применим метод логарифмического дифференцирования. Для этого предварительно прологарифмируем обе части данного выражения и используя свойства логарифма преобразуем правую часть.

.

Продифференцируем обе части равенства, учитывая, что  сложная функция

Выражая производную искомой функция, получим

Учитывая, что , окончательно получим

Пример 8. Для функции, заданной параметрически, найти .

Решение. Находим производные от  и от  по параметру

, .

Искомую производную от  по  находим:

.

Пример 9. Найти производную , если .

Решение.

1 способ. Продифференцируем уравнение, считая переменную  аргументом, а переменную   функцией . Получим . Решаем уравнение относительно :

.

2 способ. . Воспользуемся формулой для нахождения производной функции, заданной неявно

.

 

 

 

2. Производные высших порядков

Пусть функция  имеет производную  в каждой точке  некоторого множества . Тогда ее производную  можно рассматривать как функцию, определенную на множестве . В свою очередь функция  может в некоторых точках множества  иметь производную. В этом случае производной второго порядка (второй производной) называется производная от производной . Для второй производной функции в точке x применяются обозначения:

Аналогично определяются производные 3-го, 4-го, и т.д. порядков.

Производной первого порядка (или первой производной) считается .

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем  и обязательно упростим полученное выражение:

.

Энергия электромагнитного поля http://krmatem.ru/ монтессори;программа повышения квалификации экологическая безопасность
Математика, сопротивление материалов, электротехника лекции, задачи