Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Основные методы интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам (если это возможно), называется непосредственным интегрированием.

Рассмотренные в предыдущем пункте примеры были решены именно этим методом.

Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования (метод подстановки), в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интеграла  можно заменить переменную  новой переменной  связанной с  подходящей формулой  Определив из этой формулы  и подставляя, получим

Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования  будет найден, то преобразовав результат к переменной пользуясь исходной формулой  получим искомое выражение заданного интеграла.

Пример 8. Найти интеграл

Решение. Пусть  или  тогда  

Согласно соотношению (1.4)  получаем

Возвращаясь к исходной переменной интегрирования  окончательно получаем:

Можно найти данный интеграл иначе:

пусть  Отсюда     Тогда получим:

Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2; оба результата правильные, так как, согласно теореме 2, две первообразные от данной подынтегральной функции отличаются на некоторую константу.

Пример 9. Найти интеграл

Решение.

Пусть     

тогда получим

Пример 10. Найти интеграл

Решение. Обозначим  тогда  дифференцируем обе части равенства,    

Пример 11. Найти интеграл

Решение. Берем подстановку   дифференцируем обе части равенства     а так как  тогда  Получаем:

Пример 12. Найти интеграл

Решение. Беря подстановку  получаем  

Подставляем в подынтегральное выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной

  Пример 13. Найти интеграл

Решение. Полагаем  тогда      Подставляем в подынтегральное выражение и интегрируем:

Выделим целую часть подынтегральной функции:

тогда 

Найдем  Для этого введем новую переменную    Полученные результаты подставим в подынтегральное выражение и проинтегрируем:

Возвращаясь к данному интегралу, получаем:

Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Освоить применение этого метода интегрирования можно только одним способом – решая как можно больше примеров.

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1.  2.   3.  4.  

5.   6.  7.  8.  9.  10.  11.  12.  

13.   14.  15.  

 16.   17.  18.  

19.   20.  

Ответы. 1.  2.  

3.   4.  5.  6.  7.  8.  

9.   10. 

11.   12.  13.  14.  15.  16.  

17.   18.  19.  20.


Решение задач Вычислить интеграл