Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Пример 1. Найти интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию  тогда

Проверка. Найдем дифференциал полученной функции:

Сравнивая полученный дифференциал с подынтегральным выражением данного интеграла, убеждаемся в том, что интеграл найден верно (согласно второму свойству неопределенного интеграла).

Пример 2. Найти неопределенный интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Решение. Так как  тогда получим

Проверка. Найдем производную от полученного результата:

Совпадение полученного результата с подынтегральной функцией говорит о том, что неопределенный интеграл найден верно (согласно первому свойству).

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

Решение. В знаменателе подынтегральной функции общий множитель  вынесем за скобку, тогда постоянный множитель подынтегральной функции  вынесем за знак интеграла (используем четвертое свойство):

Воспользуемся формулой 20 таблицы интегралов, где  тогда получим:

Пример 4. Найти неопределенный интеграл 

Решение. Так как  тогда получим:

Пример 5. Найти неопределенный интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

Тогда получим (согласно пятому свойству)

Пример 6. Найти неопределенный интеграл

Решение.

Используя преобразованный вид функции и свойства интегралов, получим:

Пример 7. Найти неопределенный интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

Данный интеграл будет равен:

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы

1.   2.  3.

4.   5.  6.  7.

8.   9.  10.  11.

12.   13.  14.

15.   16.  17.

18.   19.  20.

Ответы. 1. 2.

3.   4.  5.  6.

7.   8.  9.

10.   11.  12.

13.   14.  15.

16.   17.  18.  

19.   20.


Решение задач Вычислить интеграл