Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Дифференциальные уравнения

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки  где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение  получим

 или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение  . Получим  откуда  

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Задача 27. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 

Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид  позволяет сделать замену   и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем

,

Уравнение примет вид

Разделяем переменные и интегрируем:

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде

Задача 28. Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах: 

1)

2)

3)

Решение. Дифференциальное уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие

Проверим его для каждого уравнения.

1.

 

 Условие не выполняется.

2.

 

Условие выполняется, тогда

- уравнение в полных дифференциалах.

3.

Условие не выполняется.


Решение задач Вычислить интеграл