Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной ряд вида

Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:

 или .

Интервал абсолютной сходимости степенного ряда определяется неравенством . Вне этого интервала, при  ряд расходится. На концах интервала – в точках   поведение ряда исследуется особо.

Находим радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как , получаем

Тогда ряд сходится, если , откуда , то есть .

Исследуем сходимость ряда в точках  и .

При  исходный ряд принимает вид

Это обобщенный гармонический сходящийся ряд ( сходится, если ).

При  получаем знакочередующийся ряд  Этот ряд сходится (притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:

Итак, исходный ряд сходится для всех .

Задача 24. Найти коэффициенты  и  разложения в ряд Фурье функции

Записать это разложение.

Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

,

где

Найдем коэффициенты  и . Так как , получим

Так как  можно заменить более простой функцией , получим .

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:

Задача 25. Найти коэффициенты  разложения в ряд Фурье по синусам функции

.

Решение. Коэффициенты  разложения функции в ряд Фурье по синусам определяются по формуле (41):

Тогда

Так как , получим


Закладные изделия мн на сайте atl-met.ru.
Решение задач Вычислить интеграл