ИНТЕГРАЛЫ
Задача 1. Вычислить
.
Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену
. Дифференцируя обе части равенства, получим
, т.е.
. Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если
, то
; если
, то
.
Следовательно,
Задача 2. Вычислить
.
Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной
. Тогда
Изменяем пределы интегрирования: если
, то
; если
, то
.
Получаем
Задача 3. Вычислить
.
Решение. Интеграл относится к группе интегралов:
,
,
, где
- многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле (17)
Если за и принять многочлен
, то в результате применения формулы (17) интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).
Обозначим
Найдем
Тогда
Задача 4. Вычислить
.
Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида
,
,
,
![]()
(
- многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции
. Итак, положим
![]()
Тогда
Получаем
Задача 5. Вычислить
.
Решение. Выполним замену переменной:
Получим
![]()
В подынтегральном выражении выделим целую часть:
![]()
-__
-
-
Тогда
В интеграле
сделаем замену:
,
при этом
Возвращаясь к переменной х, получим
Задача 6. Вычислить
.
Решение. Это интеграл вида
.
Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае
), поэтому интеграл можно вычислить следующим образом. Преобразуем подынтегральное выражение
, следовательно, можно выполнить замену:
.
В результате получим
Задача 7. Вычислить
.
Решение. Это интеграл вида
с чётными m и n (в данном случае
). Воспользуемся формулой (19) понижения степени
,
получим
Задача 8. Вычислить
.
Решение. Применяя тригонометрическую формулу (23)
,
получим
Задача 9. Вычислить
.
Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:
Первый интеграл вычисляем, сделав замену
, тогда
. Имеем
Второй интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат:
. Тогда с учетом формулы (14) получим
Итак, исходный интеграл равен
Решение задач Вычислить интеграл |