Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Пример 10. Доказать, что

Решение. 1-й способ. Обозначим  Заметим, что  при  Поэтому последовательность  убывает при  и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим  и перейдём к пределу в равенстве  

2-й способ. Используя формулу (2), получаем  Отсюда  Поскольку , из последнего неравенства следует, что 

3-й способ. Найдём , при которых выполняется неравенство    Следовательно, при

, то есть . Поскольку то из последнего неравенства следует, что .

Пример 11. Доказать, что последовательность  монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность  монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

 Второй замечательный предел

задаётся формулами ,  , где

или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов 

, где  т.е. в случае неопределённости вида

Пример 12. Найти предел 

Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.


Решение задач Вычислить интеграл