Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Пример 5. Найти предел 

Решение. Имеем неопределённость.Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на :

  Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что  при

Замечание. Сразу после (6) можно было записать, поскольку показатели степени слагаемых в знаменателе  и  равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть  и коэффициент при  равен 2 (на языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно , то есть

,  эквивалентно , а при вычислении пределов величины можно заменять на эквивалентные, см. с. ).

Пример 6. Найти предел 

Решение. Имеем неопределённость. Воспользуемся формулой (4).Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее числитель до разности кубов, то есть на соответствующий неполный квадрат суммы; далее разделим числитель и знаменатель на  и воспользуемся арифметическими свойствами предела:

. (7)

Замечание. Сразу после (7) можно было записать  (см. предыдущее замечание).

 

Пример 7. Найти предел 

Решение. Поскольку , то  . Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле : . Так как , то. Окончательно получаем 

Пример 8. Найти предел 

Решение. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии : . Кроме того, , откуда . Подставляем полученные выражения в исходное:

 .

Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на и :

  поскольку

Пример 9. Найти предел

Решение. Обозначим  Если  - чётное, , то  Если - нечётное, , то

Таким образом, при любом   Поскольку  то .

Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.


Решение задач Вычислить интеграл