Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

 Предел последовательности

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого  существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство  

 (   ).

Пример 1. Доказать, что  (указать ).

Решение. Неравенство  из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид  Пусть . Тогда, откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть

Пример 2. Доказать, что  (указать ).

Решение. Неравенство  принимает вид  Последнее неравенство преобразуется в квадратное. Однако вычисления можно упростить. Неравенство будет выполняться, если справедливо следующее двойное неравенство:  Его левая часть заведомо выполняется при . Правая часть выполняется при . Следовательно, условиям задачи отвечают числа  Отсюда 

При вычислении предела  в случае  и  (т.е. в случае неопределённости вида ) или в случае,   и т.д. нельзя сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела. Следует так преобразовать выражение , чтобы можно было использовать свойства предела и раскрыть неопределённость, т.е. найти предел. Полезным для этого в случае  бывает вынести в числителе и знаменателе старшие степени за скобки или разделить числитель и знаменатель на старшую степень одного из них.

Пример 3. Найти предел .

Решение. Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе:

. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень , получим . Поскольку  то по свойствам предела получаем

Вообще предел отношения двух многочленов переменной  можно находить по правилу

  (1)

так что в решении последнего примера можно было обойтись без деления на .

При вычислении пределов используют формулу бинома Ньютона

 (2)

Также следует знать формулу  ( «эн-факториал»- произведение натуральных чисел от 1 до n; например, ).

Пример 4. Найти предел .

Решение. Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на -

старшую степень числителя и знаменателя. Действительно, показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых, поэтому для числителя он равен 2 (). Показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей. Показатели степени выражений  равны 1, поэтому показатель степени знаменателя равен 1+1=2. Тогда Поскольку  при  то  и по свойствам предела получаем 

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют приём перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот с помощью формул сокращённого умножения

  (3)

  (4)

 (5)

(первая и вторая из них получаются из третьей при  и  соответственно).

Так, например, если выражение содержит множитель , где  и  и их старшие степени и коэффициенты при них совпадают или эта разность стремится к нулю, полезно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на , т.е. на выражение, сопряжённое к .


Решение задач Вычислить интеграл