Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Задача 10. Получить рекуррентную формулу для интеграла  и вычислить его.

.

Решение. Сделаем замену переменной  и обозначим . Получим

.  (32)

Имеем

. (33)

Интеграл  интегрируем по частям:

.  (34)

Подставляя (34) в (33), получим рекуррентную формулу

.  (35)

Применяя формулу (35)  раз, имеем

.  (36)

Объединяя (36) и (32), получим

Ответ: .

Задача 11. Вычислить .

Решение. Имеем

,

где . Отсюда

.  (37)

Здесь . Заметим, что при любом  интеграл  сходится и, следовательно,  конечно. Имеем

.  (38)

Так как , то . Учитывая (38), отсюда имеем

.  (39)

Из формул (37) и (39) получаем

Ответ: .

Задача 12. Вычислить

а) .

Решение. Пусть . Очевидно, что , Поэтому несобственный интеграл 1-го рода  расходится. Вычислим . Имеем

.

Таким образом, мы получили

Ответ: .

б) .

Решение. Имеем

.

Таким образом, получаем

 Ответ:  не существует.

в) .

Решение. Особая точка . Очевидно, что несобственный интеграл 2-го рода   расходится, так как . Поэтому

.

Отсюда

Ответ: .

Задача 13. Доказать неравенства.

а) .

Доказательство. Обозначим . Особая точка . Так как

, то интеграл  абсолютно сходится.

Пусть

. (40)

 Рассмотрим интеграл . Обозначим . Имеем

.  (41)

Докажем, что

.  (42)

Действительно, . Следовательно,  убывает на промежутке . А так как , то отсюда следует (42). (41) и (42) дают нам, что . Следовательно,

. (43)

Используя вторую из формул (43), получим . Итак,

.  (44)

Оценим интеграл . Имеем

,  (45)

Так как  (см. (40), то из неравенств (44) и (45) получаем

.  (46)

(Доказать, что неравенства (44) и (45) строгие).

Пусть теперь

.  (47)

Используя первую из формул (43), получим

.  (48)

Докажем, что

.  (49)

Интегрируя по частям, имеем

.  (50)

Далее

. (51)

Из (50) и (51) получим .

Неравенство (49) доказано. Из (47) - (49) следует

. (52)

Неравенства (46) и (52) дают

.

Замечание. Интегрируя по частям интеграл , можно получить более точную оценку интеграла .

б) .

Доказательство. Обозначим . Интеграл  является сходящимся несобственным интегралом (доказать). Имеем

. (53)

Очевидно, что . Отсюда

.  (54)

Далее . Тогда

.  (55)

Объединяя (53) - (55), получим

.  (56)

Замечание. Оценка (56) может быть улучшена.


Решение задач Вычислить интеграл