Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Задачи 4 - 6. Исследовать сходимость интеграла.

а) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода, подынтегральная функция положительна при любом . Кроме того,  при .

Используя следствие из теоремы 1 (теорема сравнения) и результат примера 1 , отсюда получим

Ответ: интеграл  сходится.

б) .

Решение. Как и в предыдущем случае, интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода с неотрицательной подынтегральной функцией. Здесь невозможно непосредственно использовать теорему сравнения или ее следствие. Исследуем сходимость этого интеграла двумя способами.

1-й способ. Используя следствие из критерия Коши, докажем, что интеграл   расходится. Этот означает, что существует  такое, что для любого  существуют  такие, что

.  (7)

Пусть . Тогда

.

Таким образом, для любого  существуют  такие, что выполняется неравенство (7) при . Значит, интеграл  расходится.

2-й способ. Имеем

.  (8)

По следствию из теоремы сравнения интеграл  расходится, так как  при .

Что касается интеграла , то для его исследования используем признак Дирихле (теорема 4), так как подынтегральная функция не является знакопостоянной. Имеем:

функция  непрерывна, а функция  непрерывно дифференцируема на промежутке ; далее

1) первообразная функции  равна  и, следовательно, ограничена на промежутке ;

2) функция  монотонно убывает на промежутке ;

3) .

Следовательно, по признаку Дирихле интеграл  сходится. Учитывая, что интеграл  расходится, а интеграл  сходится, из (8) получим, что интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  расходится.

в) .

Решение. Имеем . Легко доказать, что . Тогда

.  (9)

Очевидно, что . Так как интеграл  сходится, то из неравенств (9) и теоремы сравнения следует

Ответ: интеграл  сходится.

г) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода,  - особая точка подынтегральной функции. Имеем

. (10)

Так как интеграл  сходится (см. пример 3,  ), то из теоремы сравнения и из (10) следует

Ответ: интеграл  сходится.

д) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка . Что касается точки , то

.

Таким образом, точка  не является особой.

Рассмотрим точку . Имеем

.  (11)

Так как интеграл  сходится, то из (11) и следствия из теоремы сравнения получим

Ответ: интеграл  сходится.

е) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка   - внутренняя точка промежутка интегрирования. Поэтому

.

В интеграле  сделаем замену переменной . Тогда , особая точка . Имеем  при . Так как интеграл  расходится, то по следствию из теоремы сравнения интеграл  также расходится. Таким образом, независимо от результата исследования интеграла  отсюда получаем

Ответ: интеграл  расходится.

 

 

 

ж) .

Решение. Так как

 при ,  (12)

то при  подынтегральная функция имеет особенность в точке . Поэтому интеграл  разбиваем на два интеграла:

,

интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода,  - 1-го рода. Из соотношения (12) и из следствия из теоремы сравнения получим, что интеграл  сходится при  (см. пример 3), т.е. при . Далее

  при .

Отсюда и из следствия из теоремы сравнения получим, что интеграл   сходится при  (см. пример 1). Объединяя эти результаты, получим

Ответ: интеграл  сходится при .

з) .

Решение. Если , то подынтегральная функция имеет особенность при . Поэтому

, (13)

интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, интеграл  - 1-го рода.

Имеем  при . Следовательно, интеграл  сходится при . Далее

,  (14)

 при любом . Следовательно, непрерывная на промежутке  функция  ограничена, т.е. существует положительная константа   такая, что

. (15)

Из (14) и (15) получим

.  (16)

Так как  сходится, то по теореме сравнения из (16) следует, что сходится интеграл  при любом .

Объединяя результаты, из (13) получим

Ответ: интеграл  сходится при .

и) .

Решение. Подынтегральная функция имеет особые точки при  и . Поэтому

. Имеем . Отсюда следует, что интеграл  сходится.

Далее, . Отсюда получим, что интегралы  также сходятся.

Наконец, .

Интегралы  однотипны. Поэтому рассмотрим . Имеем

.

Интеграл  сходится при . Отсюда следует, что сходятся интегралы , а значит, и интеграл .

Объединяя результаты, получим

Ответ: интеграл  сходится.


Решение задач Вычислить интеграл