Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Линейность.

Если сходятся интегралы  и , то при любых  сходится интеграл  и имеет место равенство

.

2.2. Формула Ньютона - Лейбница. Если функция  непрерывна на промежутке ,  - первообразная для функции , то несобственный интеграл  сходится тогда и только тогда, когда существует конечный , причем

.  (6)

Формула (6) называется формулой Ньютона - Лейбница для несобственного интеграла.

Замечание. Если , то в формуле (6) .

2.3. Интегрирование по частям. Пусть функции  и  непрерывно дифференцируемы на промежутке  и существует конечный

.

Тогда интегралы  одновременно сходятся или расходятся. Если указанные интегралы сходятся, то имеет место формула

.  (7)

Формула (7) называется формулой интегрирования по частям.

2.4. Замена переменной. Пусть:

1) функция  непрерывна на промежутке ;

2) функция  удовлетворяет следующим условиям:

а) непрерывно дифференцируема на промежутке ;

б) строго возрастает;

в) .

Тогда имеет место формула

  (8)

при условии, что хотя бы один из интегралов (8) сходится.

Формула (8) - формула замены переменной.

Замечание. Формула (8) верна и в случае, когда функция  строго убывает.

Интегрирование неравенств. Если сходятся интегралы  и  и для всех  выполняется неравенство , то .

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

Теорема 1 (теорема сравнения). Пусть для всех  выполняются неравенства . Тогда:

а) если интеграл  сходится, то интеграл  также сходится;

б) если интеграл  расходится, то интеграл  расходится.

Следствие. Пусть:

1) ;

2)   при .

Тогда интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

Заметим, что в исследованиях несобственных интегралов на сходимость при применении теоремы сравнения или ее следствия часто используются так называемые "эталонные" несобственные интегралы  (см. пример 1, п. 1.1.) и  (см. пример 3, п. 1.2.).

КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Теорема 2 (критерий Коши). Для того, чтобы несобственный интеграл   сходился, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

.

Следствие. Если существует такое , что для любого  существуют такие , что выполняется неравенство , то интеграл  расходится.

АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ.

Обозначим  - несобственный интеграл, .

Определение 8. Несобственный интеграл  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Определение 9. Несобственный интеграл  называется условно сходящимся, если интеграл  расходится, а интеграл   сходится.

Теорема 3. Если несобственный интеграл  сходится, то интеграл  также сходится и имеет место неравенство

.

ПРИЗНАКИ ДИРИХЛЕ И АБЕЛЯ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ.

Теорема 4 (признак Дирихле). Пусть функция  непрерывна, а функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и выполняются следующие условия:

1) функция  ограничена на ;

2) функция  не меняет знака на промежутке , т.е.  или  на ;

3)

Тогда интеграл  сходится.

Следствие (признак Абеля). Пусть:

  1) функция  непрерывна на промежутке ;

 2) интеграл  сходится;

 3) функция  ограничена на промежутке ;

 4) функция  непрерывна и не меняет знака на промежутке .

Тогда интеграл  сходится.

ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Определение 10. Пусть функция  определена при  и интегрируема на любом отрезке . Если существует конечный , то он называется главным значением в смысле Коши интеграла  и обозначается v.p..

Замечание 1. Если несобственный интеграл  сходится, то главное значение этого интеграла существует и равно этому интегралу:

v.p. .

Обратное, вообще говоря, не имеет места.

Замечание 2. Если функция  нечетна, то главное значение интеграла от нее существует и равно нулю.

Определение 11. Пусть функция  определена на множестве  - особая точка функции. Пусть, кроме того, функция  интегрируема на любом отрезке . Если существует конечный , то он называется главным значением в смысле Коши интеграла  и обозначается v.p..

Отметим, что для таких интегралов также справедливо замечание 1.


Решение задач Вычислить интеграл