Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Интегральную формулу Фурье можно записать в виде

 . (23)

Это есть комплексная форма интеграла Фурье. Введем функцию

 , (24) то согласно (23) получим

 . (25)

Переход от  к  по формуле (24) называется прямым преобразованием Фурье. Восстановление  по  с помощью формулы (25) называется обратным преобразованием Фурье. Функция  называется спектральной функцией или спектральной плотностью сигнала . Функция   называется амплитудным спектром, функция   называется фазовым спектром функции .

  и  - спектральные характеристики сигнала  соответственно амплитудная и фазовая  - четная, а   - нечетная функция.

.

Рассматривая интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье при , можно заметить, что спектральные линии в пределе сливаются. Поэтому амплитудный спектр непериодической функции будет сплошным и его изображают непрерывной линией.

Формулы (24) и (25) показывают, что если известна спектральная плотность сигнала , то можно восстановить сигнал , и, наоборот, по известному сигналу   можно определить его спектральные характеристики. Таким образом, описания процессов временными функциями (сигналами) и спектральными функциями равноправны. При решении конкретных задач, связанных с распространением сигналов, используют ту или иную форму представления, исходя из простоты математического анализа.

Рассмотрим важные для практики примеры нахождения спектральной плотности и спектральных характеристик непериодических сигналов.

Единичная функция  изображается графиком, как показано на рис. 16.

Единичная функция определяется следующим образом: . Если попытаться вычислить спектральную плотность единичной функции “напрямую”, возникает затруднение, связанной с тем, что эта функция не является абсолютно интегрируемой.

 

В этом случае умножают заданную функцию на затухающую экспоненту . Вычислив спектральную плотность функции , искомую спектральную плотность находят предельным переходом при .

  .

Таким образом, амплитудная характеристика единичной функции  изображается графиком, как показано на рис. 17.

 

 

w 

 Рис. 17 

Прямоугольный импульс.

Сигнал, определяемый выражением:

находит широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Прямоугольный импульс высотой , длительностью  изображен на рис. 18.

 

 h 

 -t/2 0 t/2

 Рис. 18

 Применяя формулу (24), находим спектральную плотность этого импульса.

.

 


 Далее на рис. 19 представлены графики спектральной плотности, амплитудного и фазового спектров прямоугольного импульса. На графике фазового спектра каждая перемена знака  учитывается приращением фазы на .

 

   

    

 2p

    p 

   w w -p    w

 Рис. 19

 
3. Треугольный импульс.

 

 

  

 h

 -t/2  0 t/2 t

 Рис. 20

 График функции представлен на рис. 20.

 Решение. Вычисляем спектральную плотность .

 

 .

 График спектральной плотности  изображен на рис. 21.

 

 

 

 

 0    

 Рис. 21

4. Колоколообразный импульс.

 , . Этот импульс совпадает по форме с графиком нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей и называется также гауссовским импульсом. Колоколообразный импульс и его спектральная плотность изображены на рис. 22.

 

 

 0 t w

 Рис. 22

 Будем находить спектральную плотность данного импульса. По формуле (24) имеем

 .

 Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы

  ,

где величина d определяется из условия 

 

 , т.е. .

Таким образом, выражение для  приводится к виду

 

 .

Перейдем к новой переменной , получим

 .

Так как , то окончательно , где ,

.

  Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно совершить замену t на  и наоборот.

5. Волновой цуг. Так называют функцию, определяемую равенством:

 
 

 

 

  t

 Рис. 23

График функции представлен на рис. 23.

Рассматриваемый сигнал играет в теории связи большую роль. Находим его спектральную плотность.

.


Решение задач Вычислить интеграл