Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Пусть функция (сигнал)  описывает некоторый периодический процесс. С целью исследования этого процесса часто представляют функцию  в виде суммы постоянного члена и гармонических составляющих с частотами  :

 . (17)

Совокупность коэффициентов Фурье периодической функции называется ее спектром. Спектр периодической функции дискретный. С точки зрения физики разложение в ряд Фурье можно трактовать как представление периодического сигнала в виде суммы гармонических колебаний.

Если на числовой оси  задан непериодический сигнал , то для исследования такого процесса представим   на промежутке   в виде ряда (17). За пределами рассматриваемого промежутка сумма тригонометрического ряда будет повторять значения функции  в промежутке . После этого естественно сделать предельный переход при . Оказывается, что в результате такого предельного перехода произойдет качественный скачок. Непериодическая функция, заданная на всей оси, представится в виде интеграла, который является непрерывным аналогом ряда Фурье и представляет собой “сумму гармонических составляющих”, частоты которых заполняют всю действительную полуось . А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема. (О представимости функции интегралом Фурье).

Если функция  абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е.   и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном промежутке этой оси, то при всех  имеет место равенство

 . (18)

Если   - точка разрыва первого рода функции , то левую часть формулы (18) следует понимать как , что мы всегда будем иметь в виду.

Формула (18) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – двойным интегралом Фурье.

Обозначая

   и , (19)

запишем интегральную формулу Фурье (18) в виде

 . (20)

Интегральная формула Фурье (20) аналогична разложению периодической функции в ряд Фурье. Подынтегральная функция формулы (20) напоминает общий член ряда Фурье, только здесь частота , непрерывно изменяясь, пробегает все значения от 0 до , и потому суммирование заменяется интегрированием от 0 до . Функции , определенные формулами (19), аналогичными формулам для коэффициентов ряда Фурье, дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты .

Смысл интегральной формулы Фурье состоит в следующем: интегральная формула Фурье представляет непериодическую функцию как наложение гармоник с непрерывной последовательностью частот.

С физической точки зрения это означает, что непериодический процесс уже нельзя построить из гармонических колебаний только с определенными изолированными частотами , теперь для его построения необходимы гармонические колебания всех частот.

Рассмотрим частные случаи применения формулы (20).

Пусть - четная функция. Тогда .

Формула (20) в этом случае принимает вид

 . (21)

Запишем эту формулу в симметричном виде, положив ,

где .

  называется косинус-преобразованием Фурье функции .

Пусть - нечетная функция. В этом случае ,

 ,

тогда

 . (22)

 

Введем синус-преобразование Фурье, положив , тогда формула (22) принимает вид .

Пусть  определена только в интервале . Тогда ее можно представить при  как формулой (21), так и формулой (22). Для этого следует функцию  продолжить на промежуток  так, чтобы она стала или четной или нечетной на всей действительной оси.

 Теперь рассмотрим примеры представления непериодических функций интегралом Фурье.

 
Представить интегралом Фурье функцию

  

 1

 1/2

 

 

 -1 0 3 t

 Рис. 12

 График функции представлен на рис. 12.

  Решение. Данная функция на любом конечном промежутке числовой оси   удовлетворяет условиям Дирихле. Очевидно, что  является абсолютно интегрируемой функцией на всей числовой оси, так как

.

Следовательно, данная функция может быть представлена интегралом Фурье; по формуле (17) имеем

 

 

  

 

В точках разрыва , т.е. при  и , полученное представление сохраняется, т. к. в этих точках .

В частности, при  имеем , отсюда легко находим значение интеграла: .

Таким образом, в результате решения основной задачи – представления заданной функции интегралом Фурье – мы смогли вычислить интеграл от функции, первообразная которой через элементарные функции не выражается. И еще одна характерная особенность. Как видно из данного примера, интеграл Фурье может представлять функцию, которая на разных промежутках числовой оси задается разными аналитическими выражениями.

Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию

 
 

 

 2

 -2 2 t

 Рис. 13

График функции представлен на рис. 13.

Решение. Условия представимости данной функции интегралом Фурье выполняются. Эта функция – четная, поэтому воспользуемся формулой (21):

.

В частности, полагая , найдем .

3. Представить интегралом Фурье функцию 

 
 

 

  - целое число.

 Рис. 14

График функции представлен на рис. 14.

Решение. Функция  непрерывна на всей числовой оси и абсолютно интегрируема, поскольку

.

Следовательно, возможно представление этой функции интегралом Фурье. Согласно формуле (18)

.

  Используя равенство

,

интегрируя и производя несложные преобразования, получим

.

  4. Представить интегралом Фурье функцию, продолжив ее на всю числовую ось: а) четным, б) нечетным образом. 

 
 


 

 

 

 0 p/2  t 

 Рис. 15

 График функции представлен на рис. 15.

 Решение. Функции, получаемые продолжением  на  четным и нечетным образом, удовлетворяют условиям теоремы. Для четного продолжения воспользуемся формулой (21)

.

Вычислим отдельно внутренний интеграл:

.

Следовательно, при четном продолжении

.

Если  продолжена нечетным образом, то следует применить формулу (22). Получим

.

Производя аналогичные вычисления, придем к следующему представлению функции :

.

Таким образом, для

.

5. Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции

.

Решение.

, следовательно, используя формулу для вычисления циклического интервала, получим

 .

Аналогично

  .

Если теперь к полученным функциям применить обратные косинус- и синус-преобразования Фурье, то найдем

и

Применяя косинус- и синус-преобразования Фурье, можно получить таблицу значений несобственных интегралов, зависящих от параметра. Однако основное назначение косинус- и синус-преобразований Фурье состоит в применениях к решению задач математической физики.

6. Найти функцию , если .

Решение. Функция , как это видно из представленного уравнения, является синус-преобразованием Фурье функции . Поэтому и на основании формулы обратного синус-преобразования Фурье находим

.

7. Вычислить интеграл .

Решение. Замечая, что , можем записать

.

Если ввести функцию  то предыдущее равенство примет

вид , т.е.


Решение задач Вычислить интеграл