Разложить в ряд Фурье функцию 
, заданную на интервале 
уравнением 
.
Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.
А. Будем
полагать, что функция задана на отрезке длиной, равной периоду 
,
и периодически продолжить ее на всю числовую ось с этим периодом
(рис. 10).
y
-2p -p 0 p 2p х
Рис. 10
Вычисляем коэффициенты
Фурье полученной функции по общим формулам (9), (10), полагая 
.
;
,
;
;
.
Б.
Доопределим функцию на отрезке 
четным образом и периодически на всю числовую ось. В
данном случае 
. Вычисляем коэффициенты
Фурье полученной функции по формулам (5).
График функции представлен на рис. 11.
y
-p p x
Рис. 11
;
0
.
Итак, 
.
Заметим, что ряды Фурье, полученные в пп. А и
Б, сходятся на отрезке 
к одной
и той же формуле , во втором случае
вычислений нужно проводить меньше, чем в первом.
Во многих случаях удобно использовать комплексную формулу ряда Фурье, которую можно получить с помощью формул Эйлера:
; 
.
Для
функций с произвольным периодом 
ряд Фурье в комплексной форме имеет вид
, (15)
где
. (16)
Разложить в ряд Фурье
функцию , заданную на интервале 
уравнением 
.
Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (16)
.
По формулам Эйлера
.
Следовательно,
,
.
В
интервале ряд представляет функцию 
, а в точках 
его сумма равна 
.
Заметим, что полученный ряд в комплексной
форме можно преобразовать к обычной тригонометрической форме ряда Фурье, для этого
следует объединить слагаемые с индексами 
и 
и заменить в результате по формулам Эйлера показательные
функции тригонометрическими:
при 
.
Следовательно,
.