Разложить в ряд Фурье функцию
, заданную на интервале
уравнением
.
Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.
А. Будем полагать, что функция задана на отрезке длиной, равной периоду
, и периодически продолжить ее на всю числовую ось с этим периодом
(рис. 10).
y
-2p -p 0 p 2p х
Рис. 10
Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по общим формулам (9), (10), полагая
.
;
,
;
;
.
Б. Доопределим функцию
на отрезке
четным образом и периодически на всю числовую ось. В данном случае
. Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по формулам (5).
График функции представлен на рис. 11.
y
-p p x
Рис. 11
;
0
.
Итак,
.
Заметим, что ряды Фурье, полученные в пп. А и Б, сходятся на отрезке
к одной и той же формуле
, во втором случае вычислений нужно проводить меньше, чем в первом.
Во многих случаях удобно использовать комплексную формулу ряда Фурье, которую можно получить с помощью формул Эйлера:
;
.
Для функций с произвольным периодом
ряд Фурье в комплексной форме имеет вид
, (15)
где
. (16)
Разложить в ряд Фурье функцию
, заданную на интервале
уравнением
.
Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (16)
.
По формулам Эйлера
.
Следовательно,
,
.
В интервале
ряд представляет функцию
, а в точках
его сумма равна
.
Заметим, что полученный ряд в комплексной форме можно преобразовать к обычной тригонометрической форме ряда Фурье, для этого следует объединить слагаемые с индексами
и
и заменить в результате по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:
![]()
при
.
Следовательно,
.
Решение задач Вычислить интеграл |