Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ  и 

Рядом Фурье периодической функции  с периодом , определенной на сегменте , называется ряд

 , (1)

где

  (2)

 

  (3)

Если ряд (1) сходится, то его сумма  есть периодическая функция с периодом , т.е. .

Теорема Дирихле. Пусть функция  на сегменте  имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента  и сумма этого ряда   вычисляется:

1)  во всех точках неразрывности , лежащих внутри сегмента ;

2) , где - точка разрыва 1-го рода функции ;

3)   на концах промежутка, т.е. при .

В случае, когда  - четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (4)

где

  (5)

В случае, когда  - нечетная функция, ее ряд содержит только синусы, т.е.

   (6)

где 

  (7)

Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд функции периода, отличного от . В этом случае, если  - периодическая функция с периодом , для которой выполняются на сегменте  условия Дирихле, то указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

  (8) где

  (9)

  (10)

В случае, когда  - четная функция, как (4) – (5), ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (11) где

 . (12)

В случае, когда - нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

  (13) где

  (14)

При разложении в ряд Фурье целесообразно придерживаться следующей схемы. Вначале проверяем, что данная функция удовлетворяет условиям Дирихле; затем вычисляем коэффициенты  и  по соответствующим формулам; подставляя их в ряд, получаем искомое разложение; наконец, основываясь на теореме Дирихле, определяем, при каких   полученный ряд сходится к данной функции. Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье периодических функций.

1. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале  формулой:  (рис. 1).

 


 y

 -4π -3p  -2p -p 0 p 2p 3p  4π x

 Рис. 1

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулу (7), найдем коэффициенты Фурье :

,

 0 

т.к. .

Следовательно, ряд Фурье функции  будет иметь вид

.

Так как функция  удовлетворяет условиям Дирихле, то в любой точке непрерывности  сумма ряда равна значению функции. В точках  и  сумма ряда равна нулю. На рис. 2 показаны графики: функции  и частичных сумм ряда, содержащие 1, 2 и 3 члена. Из рисунка видно, как график частичных сумм ряда приближается к графику функции  при увеличении членов суммы.

 y 

 

 

 Рис. 2

2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой

.

  Построим график функции (рис. 3).

 y

 1

 -3p  -2p -p p 2p  3p x 

 Рис. 3

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулы (2) и (3), находим коэффициенты Фурье

,

,

.

Разложение в ряд Фурье  имеет вид

.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале

  формулой

 Построим график функции (рис. 4).

 


 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

 Рис. 4

Решение. Пользуясь формулами (9) и (10), полагая  и разбивая интервал интегрирования точкой  на две части, поскольку в каждой из них функция задана различными формулами, получим

 

.

При а – четном  и , при n – нечетном  и .

При n=0

,

 

 0

.

Искомое разложение данной функции имеет вид

.

Оно справедливо во всей области определения данной функции: в интервале   сумма ряда , в интервале  - . В точке разрыва ,

.

4. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой  (рис. 5).

 у

 1

 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 х 

 

 Рис. 5

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулу (12), (функция  - четная), полагая , получим ,

.


Решение задач Вычислить интеграл