Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций называются собственными.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы I рода) от непрерывной функции  определяются посредством предельного перехода:

  (2.24)

  (2.25)

  (2.26)

где произвольное число.

Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами (несобственные интегралы II рода) также определяются посредством предельного перехода:

Если функция  имеет бесконечный разрыв в точке  принадлежащей отрезку  и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то

  (2.27)

где   и  изменяются независимо друг от друга.

Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют и конечные определяющие их пределы. Если же указанные пределы не существуют, то данные несобственные интегралы называются расходящимися.

Если непрерывная функция  на промежутке  и инетеграл  сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции

В случае, когда  несобственный интеграл второго рода  (разрыв в точке ) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Пример 64. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение. Пользуясь равенством (2.24), получим

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

Пример 65. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение. Используя определение (2.25), получим:

Рассмотрим интеграл  Для его нахождения воспользуемся формулой интегрирования по частям

Пусть  тогда

Вернемся к данному интегралу:

Следовательно, данный несобственный интеграл расходится.

Пример 66. Найти несосбтвенный интеграл

Решение. Пользуясь определнием (2.26), получим

Значит данный несобственный интеграл сходится

Пример 67. Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

Решение. Здесь при  подынтегральная функция  имеет бесконечный разрыв. Согласно определению (2.27)

то есть несобственный интеграл расходится.

Пример 68. Найти несосбтвенный интеграл

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке  лежащей внутри отрезка интегрирования   Поэтому, согласно формуле (2.27),

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.


Решение задач Вычислить интеграл