Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Пример 60. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Решение. Разрешаем данное уравнение относительно  и находим     

Согласно формуле (2.20) получим

Задания для самостоятельного решения

Вычислить длины дуг кривых:

1.   между точками пересечения с осью  

2.   3.  от

  до  4.  от  до

Ответы. 1.  2.  3.  4. .

3). Вычисление объема тела вращения плоской фигуры.

Если тело образуется при вращении вокруг оси  криволинейной трапеции, то любое его плоское сечение, перпендикулярное к оси  будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой  Объем тела вращения определяется формулой

  (2.22)

Если тело образуется при вращении криволинейной трапеции, прилежащей к оси  то объем тела вращения определяется формулой

  (2.23)

Пример 61. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  (одной волной),  вокруг оси

Решение. Построим плоскую фигуру, вращение которой вокруг оси  образует нужное тело:

Искомое тело состоит из двух тел одинаковых объемов, тогда  Найдем

 

 Тогда искомый обьем


Решение задач Вычислить интеграл