Дифференциальные уравнения Примеры решения интегралов Решение типовых задач

Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения, интегралы, пределы, ряды

Пример 57. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями    

Решение. Построим графики данных функций: это возрастающая показательная функция, так как основание этой функции больше единицы (4>1); графиком функции   является прямая, проходящая через начало координат (биссектриса первого и третьего координатных углов); прямая, параллельная оси  проходящая через точку (0;4)

Найдем абциссу точки пересечения графиков функций  и

  Прямой  разобьем данную фигуру на две, тогда

Найдем абциссу точки пересечения графиков  и

Используя формулу (2.17), получим:

Следовательно, площадь данной фигуры равна:

.

Задания для самостоятельного решения

Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1.  2.

3.  4.

5.  6.

7.  8.

9.  10.

Ответы. 1.  2. 18. 3.  4.  5. 8. 

 6.   7.  8.  9.  10.

2). Вычисление длины дуги.

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением  то

  (2.19)

где, абциссы начала и конца дуги

Если кривая задана уравнением  то

  (2.20)

где ординаты начала и конца дуги

Если кривая задана параметрическими уравнениями   то длина дуги выражается формулой

  (2.21)

где значения параметра, соответствующие концам дуги

Пример 58. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Решение. Разрешаем данное уравнение относительно  и

находим

   

Знаки  в выражении  указывают, что кривая симметрична относительно оси   точки  и  имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси

Подставляя в формулу (2.19), получим

  Пример 59. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды

Решение. Дифференцируем по  параметрические уравнения циклоиды

тогда

 

Подставляя полученные результаты в формулу (2.21), получаем


Решение задач Вычислить интеграл