Математика решение задач по темам пределы, ряды

Медицинская подушка - для лечения сердца

Медицинская подушка - для лечения сердца

 

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математика
Дифференциальные уравнения
Примеры решения интегралов
Решение типовых задач
Сопромат, начерталка
Работа«Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Выполнить эскизы

Деталирование чертежа

Контрольная работа по сопромату
Проекционное черчение
Начертательная геометрия
Физика, электротехника
Учебник по физике
Лабораторные и контрольные
работы по электротехнике
Кинематика
Примеры решения задач
Динамика движения твердого тела
Работа и энергия
Электростатика
Энергия электростатического поля
Законы постоянного тока

Сила Ампера.

Энергия магнитного поля
Термодинамика
Учебник по информационным технологиям
Информационные сети
Информационные ресурсы сетей
Физические характеристики
волоконно-оптических передающих сред
Основные сервисы сетевой среды Internet
Протоколы и сервисы поисковых систем
Подсети. Маска подсети. Имена
Таблица маршрутизации
Методы коммутации информации
Высокоскоростное подключение
по аналоговым каналам
Взаимосвязь с другими сетями и архитектурами
Потери пакетов
Распределенные системы обработки данных
Создание стандартных технологий локальных сетей
Проблемы объединения нескольких компьютеров
Логическая структуризация сети
Поддержка разных видов трафика
Пропускная способность линии
Кабели на основе экранированной витой пары
Асинхронная и синхронная передачи
Методы коммутации
Коммутация пакетов
Технология Fast ethernet
Технология Gigabit ethernet
Технология FDDI
Технология виртуальных сетей
Структура глобальной сети
Основные принципы технологии АТМ
Технология мобильных сетей
Организация физических и логических каналов
в стандарте GSM
Схема взаимодействия локальных, городских
и глобальных вычислительных сетей
Удаленный доступ
Типы используемых глобальных служб
Многосегментные концентраторы
Типы адресов стека TCP/IP
Таблицы маршрутизации в IP-сетях
Протокол надежной доставки TCP-сообщений
Использование выделенных линий для построения
корпоративной сети

Использование служб ISDN в корпоративных сетях

Энергетика
Рентгеновское излучение
Ускорители элементарных частиц и ионов
Первый бетатрон для ускорения
электронов
Реактор БИГР (быстрый импульсный
графитовый реактор)
Атомные батареи в космосе
Атомные батареи для маяков, бакенов
Космические ядерные аварии
Импульсные реакторы
Излучатели нейтронов
Лекции по радиобиологии
Загрязнение окружающей среды
в результате ядерных взрывов
Выбрасы радиоактивных веществ
в атмосферу
Газообразные выбросы АЭС
Нормирование выбросов радиоактивных
газов в атмосферу
АЭС с реактором ВВЭР
АЭС с быстрыми реакторами
Химические свойства радиоактивных элементов
Применение тория
Химически уран

Плутоний

Декоративное садоводство
и цветоводство
Садово-парковое искусство
Комнатное цветоводство
Ландшафтный дизайн
Современные садовые стили
Кантри во французском стиле
История искусства
Портретная живопись
Архитектура Франция
Живопись Франция
Скульптура
Франсиско Гойя.
Французская пейзажная живопись
Соединенные Штаты
Основатели фотографии
Реализм и импрессионизм
Моне и импрессионизм.
Эдвард Мунк
Поль Сезанн

Огюст Роден

История искусства средних веков
Искусство остготов и лангобардов
Искусство периода Каролингов
Романское искусство
Скульптура, живопись и прикладное искусство
Средневековое искусство Германии
В романском искусстве Германии
Романские соборы Англии
Искусство Южной Италии
Готическое искусство
Собор в Лане
Собор Сен Пьер в Пуатье
Скульптурное убранство готических
фасадов в Германии
Интерьеры английских соборов
Готическая архитектура Испании
Портрет в русском искусстве ХlX- начала ХХ века
Этапы развития натюрморта в русском исскустве
Химия
Примеры решения задач по химии

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Задачи 1-3. Используя определение, вычислить интеграл или установить его расходимость. .

Задачи 4 - 6. Исследовать сходимость интеграла

Задачи 7, 8. Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость.

Задача 1. Вычислить .

Вычислить . Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения

Задача 16. Вычислить , если l задана уравнением Решение. Воспользуемся формулой вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:

.Получить рекуррентную формулу для интеграла  и вычислить его. .

 

Предел последовательности

Пример. Найти предел .

Пример. Найти предел 

Пример 11. Доказать, что последовательность  монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность  монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности 

Предел функции Найти предел .

Вычислить предел функции .

Вычислить предел функции

Пример Последовательность функций  определяется следующим образом:   Найти 

Задача Определить, какие ряды сходятся:  

Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной ряд вида

Построение эскиза графика функции одной переменной

Полное исследование функции проводится по следующему плану.

1) Найти область определения функции .

2) Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность). В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика при с последующим симметричным его отображением (относительно начала координат для нечетной функции или относительно оси  для четной).

3) Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью  решаем уравнение ; для нахождения точки пересечения графика с осью  подставляем в аналитическое выражение функции значение ).

4) Найти  и с ее помощью определить интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремальные значения функции.

5) Найти , с ее помощью определить направления выпуклости графика функции и найти точки перегиба графика функции.

6) Найти асимптоты графика.

7) Используя все полученные результаты, построить график функции.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Провести полное исследование функции  

Решение.

1) .

2) , т.е.  и . Функция является функцией общего вида, непериодической.

3) Так как , то график пересекает оси координат только в точке .

4) .

 или .  не существует в точке , но она не входит в область определения функции. Следовательно, имеются две стационарные точки  и . Разобьем этими точками область определения на интервалы знакопостоянства производной: , , , . Определим знаки производной в этих интервалах (см. рис. 8). 

 


Используя достаточные условия монотонности и экстремума, можно сделать следующие выводы: функция возрастает в интервалах  и , убывает в  и . Значение максимума , значение минимума .

5) .

 не обращается в 0, а в точке 1, где  не существует, функция не определена, поэтому график функции не имеет точки перегиба. Таким образом, имеются два интервала  и , знакопостоянства второй производной (см. рис.9 ).

В силу достаточных условий выпуклости и вогнутости графика в интервале   график выпуклый (вверх), а в интервале  график вогнутый (выпуклый вниз).

6)Так как, , то прямая  – вертикальная асимптота графика функции.

.

.

Следовательно, прямая  – наклонная асимптота графика функции при .

7) Построим график функции. Сначала изобразим асимптоты  и  (пунктирной линией). Наносим на чертеж точки (0, 0) и (2, 2), найденные в пункте 4. Проводим через эти точки линию, согласно результатам исследования функции в пунктах 4, 5, 6. Еще раз сравниваем полученный график с результатами исследования и убеждаемся в правильности построения графика.

Образцы решения типовых заданий.

ПРИМЕР 1. Найдите предел

Решение.

Разделим числитель и знаменатель выражения на 7n. После преобразований получим:

 .

(Так как при  выражение  стремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).

ПРИМЕР 2. Найдите предел

 

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на :

.

ПРИМЕР 3. Найдите предел .

 

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение . Получим:

.

 

ПРИМЕР 4. Найти предел  

Решение.

Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;

.

ПРИМЕР 5. Найти предел.

 хà¥

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:

.

ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию: .

Решение.

Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:

.

ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение.

Дифференцируем данную функцию по х:

, откуда  

 

ПРИМЕР 8. Найти производную  от функции, заданной параметрически: .

Решение.

.

ПРИМЕР 9. Найти область определения функции

 

Решение.

 Данная функция определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями уравнения . Это все числа вида .

  Таким образом, область определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек .

ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

 Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке  области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

 Так как в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то прямая   является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

 .

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).

 Итак,  и уравнение асимптоты . Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

 Найдем производную функции и критические точки:

. Стационарная критическая точка: . Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;¥).

Подпись: еПодпись: 0Подпись: Х

Подпись: +Подпись: -

Составим таблицу:

Подпись: x	(0;e)	e	(e;+¥)
y`	+	0	-
y	возрастает	max	убывает

Экстремум функции: .

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

при .

 Определим знак второй производной в интервалах  и

+

 

-

 

 


Подпись: -

Подпись: +


Подпись: x	(0; )
 »4,48
( ;¥)

y``	-	0	+
график	выпуклый	точка перегиба	вогнутый

Составим таблицу:

y()=3/() » 0.33

График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:

Подпись: УПодпись: 1Подпись: Х
 


ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

 

Решение.

 Построим график данной функции в декартовых координатах для :

Подпись: R

Подпись: 3/2pПодпись: pПодпись: p/2

 Подпись: 0φ

 

Из этого графика видно, что при  имеем .

 Поэтому требуемый график будет находиться в секторах, соответствующих данным значениям j, а также в секторах, симметричных им относительно начала координат (в силу того, что перед  стоит чётный коэффициент).

Учитывая характер изменения r в этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу):

ПРИМЕР 12. Исследовать сходимость ряда

Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда

.

Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.

ПРИМЕР 13. Разложить функцию  в ряд по степеням х.

 

Решение.

Разложим функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что , разложим функцию на сумму двух более простых:

.

Далее преобразуем:

.

 Воспользуемся разложением:

.

*

 
 Получим (при  <1, т.е. при <2)

 то есть .

 Аналогично получим второе разложение:

.

Тогда: 

.

Окончательно получаем:

ПРИМЕР 14. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

 Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

ПРИМЕР 15. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

 

Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:

.

ПРИМЕР 16. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

 Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае:

. Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл  или установить его расходимость.

Решение.

  Точка  является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:

 - получили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

ПРИМЕР 18. Решить уравнение: .

Решение.

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:

.

Проинтегрируем части последнего равенства:

.

Отсюда:

.

Окончательно имеем:

 - общее решение данного уравнения.

ПРИМЕР 19. Решить уравнение: .

Решение.

Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений

 ,

которые решаются с помощью подстановки

.

Отсюда:

.

После подстановки в исходное уравнение получим:

.

Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя обе части, получим:

Используя обратную подстановку, получим:

Окончательно имеем обще решение в виде:

.

Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:

.

Искомое частное решение:

.

Математика, сопротивление материалов, электротехника лекции, задачи