Математика решение задач по темам пределы, ряды

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Задачи 1-3. Используя определение, вычислить интеграл или установить его расходимость. .

Задачи 4 - 6. Исследовать сходимость интеграла

Задачи 7, 8. Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость.

Задача 1. Вычислить .

Вычислить . Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения

Задача 16. Вычислить , если l задана уравнением Решение. Воспользуемся формулой вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:

.Получить рекуррентную формулу для интеграла  и вычислить его. .

 

Предел последовательности

Пример. Найти предел .

Пример. Найти предел 

Пример 11. Доказать, что последовательность  монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность  монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности 

Предел функции Найти предел .

Вычислить предел функции .

Вычислить предел функции

Пример Последовательность функций  определяется следующим образом:   Найти 

Задача Определить, какие ряды сходятся:  

Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной ряд вида

Построение эскиза графика функции одной переменной

Полное исследование функции проводится по следующему плану.

1) Найти область определения функции .

2) Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность). В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика при с последующим симметричным его отображением (относительно начала координат для нечетной функции или относительно оси  для четной).

3) Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью  решаем уравнение ; для нахождения точки пересечения графика с осью  подставляем в аналитическое выражение функции значение ).

4) Найти  и с ее помощью определить интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремальные значения функции.

5) Найти , с ее помощью определить направления выпуклости графика функции и найти точки перегиба графика функции.

6) Найти асимптоты графика.

7) Используя все полученные результаты, построить график функции.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Провести полное исследование функции  

Решение.

1) .

2) , т.е.  и . Функция является функцией общего вида, непериодической.

3) Так как , то график пересекает оси координат только в точке .

4) .

 или .  не существует в точке , но она не входит в область определения функции. Следовательно, имеются две стационарные точки  и . Разобьем этими точками область определения на интервалы знакопостоянства производной: , , , . Определим знаки производной в этих интервалах (см. рис. 8). 

 


Используя достаточные условия монотонности и экстремума, можно сделать следующие выводы: функция возрастает в интервалах  и , убывает в  и . Значение максимума , значение минимума .

5) .

 не обращается в 0, а в точке 1, где  не существует, функция не определена, поэтому график функции не имеет точки перегиба. Таким образом, имеются два интервала  и , знакопостоянства второй производной (см. рис.9 ).

В силу достаточных условий выпуклости и вогнутости графика в интервале   график выпуклый (вверх), а в интервале  график вогнутый (выпуклый вниз).

6)Так как, , то прямая  – вертикальная асимптота графика функции.

.

.

Следовательно, прямая  – наклонная асимптота графика функции при .

7) Построим график функции. Сначала изобразим асимптоты  и  (пунктирной линией). Наносим на чертеж точки (0, 0) и (2, 2), найденные в пункте 4. Проводим через эти точки линию, согласно результатам исследования функции в пунктах 4, 5, 6. Еще раз сравниваем полученный график с результатами исследования и убеждаемся в правильности построения графика.

Образцы решения типовых заданий.

ПРИМЕР 1. Найдите предел

Решение.

Разделим числитель и знаменатель выражения на 7n. После преобразований получим:

 .

(Так как при  выражение  стремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).

ПРИМЕР 2. Найдите предел

 

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на :

.

ПРИМЕР 3. Найдите предел .

 

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение . Получим:

.

 

ПРИМЕР 4. Найти предел  

Решение.

Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;

.

ПРИМЕР 5. Найти предел.

 хà¥

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:

.

ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию: .

Решение.

Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:

.

ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение.

Дифференцируем данную функцию по х:

, откуда  

 

ПРИМЕР 8. Найти производную  от функции, заданной параметрически: .

Решение.

.

ПРИМЕР 9. Найти область определения функции

 

Решение.

 Данная функция определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями уравнения . Это все числа вида .

  Таким образом, область определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек .

ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

 Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке  области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

 Так как в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то прямая   является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

 .

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).

 Итак,  и уравнение асимптоты . Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

 Найдем производную функции и критические точки:

. Стационарная критическая точка: . Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;¥).

Подпись: еПодпись: 0Подпись: Х

Подпись: +Подпись: -

Составим таблицу:

Подпись: x	(0;e)	e	(e;+¥)
y`	+	0	-
y	возрастает	max	убывает

Экстремум функции: .

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

при .

 Определим знак второй производной в интервалах  и

+

 

-

 

 


Подпись: -

Подпись: +


Подпись: x	(0; )
 »4,48
( ;¥)

y``	-	0	+
график	выпуклый	точка перегиба	вогнутый

Составим таблицу:

y()=3/() » 0.33

График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:

Подпись: УПодпись: 1Подпись: Х
 


ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

 

Решение.

 Построим график данной функции в декартовых координатах для :

Подпись: R

Подпись: 3/2pПодпись: pПодпись: p/2

 Подпись: 0φ

 

Из этого графика видно, что при  имеем .

 Поэтому требуемый график будет находиться в секторах, соответствующих данным значениям j, а также в секторах, симметричных им относительно начала координат (в силу того, что перед  стоит чётный коэффициент).

Учитывая характер изменения r в этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу):

ПРИМЕР 12. Исследовать сходимость ряда

Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда

.

Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.

ПРИМЕР 13. Разложить функцию  в ряд по степеням х.

 

Решение.

Разложим функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что , разложим функцию на сумму двух более простых:

.

Далее преобразуем:

.

 Воспользуемся разложением:

.

*

 
 Получим (при  <1, т.е. при <2)

 то есть .

 Аналогично получим второе разложение:

.

Тогда: 

.

Окончательно получаем:

ПРИМЕР 14. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

 Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

ПРИМЕР 15. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

 

Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:

.

ПРИМЕР 16. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

 Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае:

. Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл  или установить его расходимость.

Решение.

  Точка  является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:

 - получили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

ПРИМЕР 18. Решить уравнение: .

Решение.

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:

.

Проинтегрируем части последнего равенства:

.

Отсюда:

.

Окончательно имеем:

 - общее решение данного уравнения.

ПРИМЕР 19. Решить уравнение: .

Решение.

Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений

 ,

которые решаются с помощью подстановки

.

Отсюда:

.

После подстановки в исходное уравнение получим:

.

Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя обе части, получим:

Используя обратную подстановку, получим:

Окончательно имеем обще решение в виде:

.

Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:

.

Искомое частное решение:

.

Вычисление площадей в параметрических координатах
Математика, сопротивление материалов, электротехника лекции, задачи