Математика решение задач по темам интегралы

Пример 1. Найти интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Основные методы интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам (если это возможно), называется непосредственным интегрированием. Рассмотренные в предыдущем пункте примеры были решены именно этим методом. Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования (метод подстановки), в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом.

Методом интегрирования по частям Пример. Найти интеграл

Интегрирование рациональных функций Пример Найти интеграл

Интегрирование некоторых иррациональных функций Найти интеграл

Интегрирование тригонометрических функций

 

Определенный интеграл и его приложения. несобственные интегралы

Определенный интеграл как предел интегральной суммы и его геометрический смысл

Вычислить интеграл Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых:

Вычислить интеграл

Приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур.

Пример 57. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями     Решение. Построим графики данных функций: это возрастающая показательная функция, так как основание этой функции больше единицы (4>1); графиком функции   является прямая, проходящая через начало координат (биссектриса первого и третьего координатных углов); прямая, параллельная оси  проходящая через точку (0;4)

Пример 60. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Пример 62. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  вокруг оси

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций называются собственными.

РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ  и 

РЯДЫ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Несобственный интеграл 1-го рода Пример. Исследовать сходимость интеграла .

СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Промежутки монотонности и экстремумы функций

Определение. Функция  называется возрастающей (убывающей) в промежутке   из области определения, если для любых  из условия  следует неравенство  (соответственно ).

На рисунке 3 а функция возрастает в интервалах , , убывает в .

Под монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.

Теорема 3 (достаточное условие монотонности). Если функция  дифференцируема в промежутке   и  () для всех , то  возрастает (соответственно убывает) в промежутке .

Определение. Точка  называется точкой минимума (максимума) функции , если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки  этой окрестности  (соответственно ). Значение функции   называется минимумом (соответственно максимумом).

На рис. 3 а)  – точка минимума,  – точка максимума.

Под экстремумом функции (локальным) понимается либо минимум функции, либо её максимум.

Определение Точка  из области определения функции , называется критической точкой, если  дифференцируема в   и .

Определение Точка  из области определения функции , называется стационарной точкой, если  не дифференцируема в .

На рис.3 б)  – критическая, а на рис. 3 в) точка  – стационарная.

Необходимое условие экстремума. Если  - точка экстремума функции , то она является стационарной ил критической точкой этой функции.

На рис. б критическая точка  является точкой экстремума, а на рис. в стационарная точка  не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая или стационарная точка является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть  - критическая или критическая точка функции . Если в некоторой окрестности точки  слева от  производная  принимает один знак, а справа от - противоположный, то  - точка экстремума. При этом если слева , справа , то  - точка максимума, в противном случае  - точка минимума. Если в некоторой проколотой окрестности точки x0 производная  имеет постоянный знак, то   не является точкой экстремума. Если к тому же  непрерывна в , то функция монотонна в этой окрестности (рис. 3 в)).

Второе достаточное условие экстремума. Пусть  и существует . Тогда если , то - точка максимума. Если же , то - точка минимума.

Вторым достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.

При решении задач на поиск экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений.

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее первую производную.

3) Выяснить, в каких точках из области определения производная обращается в нуль , т.е. найти стационарные точки, и найти значения , при которых функция определена, а производная – нет, т. е. критические точки.

4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения, сделать выводы о характере монотонности.

5) Если при переходе через найденную точку  производная знак не меняет, то   не является точкой экстремума; если в окрестности точки  слева от нее, а справа , то  - точка максимума исходной функции и ; если же в окрестности    слева и  справа, то  - точка минимума исходной функции и .

Копирование компьютерной информации http://ruos.ru/
Математика, сопротивление материалов, электротехника лекции, задачи