Математика решение задач по темам Дифференциальные уравнения

Математика
Дифференциальные уравнения
Примеры решения интегралов
Решение типовых задач
Сопромат, начерталка
Работа«Соединение болтом»
Работа «Соединение шпилькой»
Выполнить эскизы

Деталирование чертежа

Контрольная работа по сопромату
Проекционное черчение
Начертательная геометрия
Физика, электротехника
Учебник по физике
Лабораторные и контрольные
работы по электротехнике
Кинематика
Примеры решения задач
Динамика движения твердого тела
Работа и энергия
Электростатика
Энергия электростатического поля
Законы постоянного тока

Сила Ампера.

Энергия магнитного поля
Термодинамика
Учебник по информационным технологиям
Информационные сети
Информационные ресурсы сетей
Физические характеристики
волоконно-оптических передающих сред
Основные сервисы сетевой среды Internet
Протоколы и сервисы поисковых систем
Подсети. Маска подсети. Имена
Таблица маршрутизации
Методы коммутации информации
Высокоскоростное подключение
по аналоговым каналам
Взаимосвязь с другими сетями и архитектурами
Потери пакетов
Распределенные системы обработки данных
Создание стандартных технологий локальных сетей
Проблемы объединения нескольких компьютеров
Логическая структуризация сети
Поддержка разных видов трафика
Пропускная способность линии
Кабели на основе экранированной витой пары
Асинхронная и синхронная передачи
Методы коммутации
Коммутация пакетов
Технология Fast ethernet
Технология Gigabit ethernet
Технология FDDI
Технология виртуальных сетей
Структура глобальной сети
Основные принципы технологии АТМ
Технология мобильных сетей
Организация физических и логических каналов
в стандарте GSM
Схема взаимодействия локальных, городских
и глобальных вычислительных сетей
Удаленный доступ
Типы используемых глобальных служб
Многосегментные концентраторы
Типы адресов стека TCP/IP
Таблицы маршрутизации в IP-сетях
Протокол надежной доставки TCP-сообщений
Использование выделенных линий для построения
корпоративной сети

Использование служб ISDN в корпоративных сетях

Энергетика
Рентгеновское излучение
Ускорители элементарных частиц и ионов
Первый бетатрон для ускорения
электронов
Реактор БИГР (быстрый импульсный
графитовый реактор)
Атомные батареи в космосе
Атомные батареи для маяков, бакенов
Космические ядерные аварии
Импульсные реакторы
Излучатели нейтронов
Лекции по радиобиологии
Загрязнение окружающей среды
в результате ядерных взрывов
Выбрасы радиоактивных веществ
в атмосферу
Газообразные выбросы АЭС
Нормирование выбросов радиоактивных
газов в атмосферу
АЭС с реактором ВВЭР
АЭС с быстрыми реакторами
Химические свойства радиоактивных элементов
Применение тория
Химически уран

Плутоний

Декоративное садоводство
и цветоводство
Садово-парковое искусство
Комнатное цветоводство
Ландшафтный дизайн
Современные садовые стили
Кантри во французском стиле
История искусства
Портретная живопись
Архитектура Франция
Живопись Франция
Скульптура
Франсиско Гойя.
Французская пейзажная живопись
Соединенные Штаты
Основатели фотографии
Реализм и импрессионизм
Моне и импрессионизм.
Эдвард Мунк
Поль Сезанн

Огюст Роден

История искусства средних веков
Искусство остготов и лангобардов
Искусство периода Каролингов
Романское искусство
Скульптура, живопись и прикладное искусство
Средневековое искусство Германии
В романском искусстве Германии
Романские соборы Англии
Искусство Южной Италии
Готическое искусство
Собор в Лане
Собор Сен Пьер в Пуатье
Скульптурное убранство готических
фасадов в Германии
Интерьеры английских соборов
Готическая архитектура Испании
Портрет в русском искусстве ХlX- начала ХХ века
Этапы развития натюрморта в русском исскустве
Химия
Примеры решения задач по химии

Пример. Рассмотрим уравнение: . Отсюда  или . Поэтому , где С – произвольная постоянная.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Типовые расчеты (курсовые задания) по математике Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Уравнения с разделяющимися переменными. Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения Пример. Написать общее решение уравнения .

Уравнение Бернулли

Частные случаи уравнений II порядка Рассмотрим частные случаи уравнений II порядка, допускающих «понижение» порядка, т.е. случаи, когда уравнение II порядка приводится к интегрированию двух уравнений первого порядка.

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Найти общее решение дифференциального уравнения 

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Исследовать функцию  на экстремум и монотонность.

Решение. Область определения – множество всех действительных чисел .

1)Находим производную функции:

 

2)Найдем стационарные и критические точки. Решим уравнение : - стационарная.  не существует при   или . Эти точки входят в область определения функции, следовательно, являются критическими.

3) Разобьем область определения   точками 0, 2, 4 на интервалы , , , , в каждом из которых производная сохраняет знак. Найдем знаки производной в этих интервалах (см. рис.4)

4) Функция убывает в интервалах  и , возрастает в интервалах  и . Однако можно сделать более сильный вывод. В самом деле, в окрестностях критических точек  и  производная не меняет знака, значит, они не являются точками экстремума. Функция убывает в интервале  и возрастает в интервале .

5) Стационарная точка  является точкой минимума. Тогда .

 

7.Наибольшее и наименьшее значения функции
на числовом промежутке

Пусть функция  определена на отрезке . Если  непрерывна на этом отрезке, то существуют точки  и , в которых функция достигает своего максимального и минимального значений (на отрезке!). Этими точками могут быть либо внутренние критические точки (из ), либо граничные. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции  на числовом отрезке придерживаются следующего алгоритма.

1) Найти первую производную .

2) Найти стационарные и критические точки функции  и выбрать те из них, которые попадают в отрезок .

3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в точках ,), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характер экстремума определять не нужно.

Пусть функции  определена в интервале . В этом случае не гарантируется существование наибольшего и наименьшего значений у функций. После определения стационарных и критических точек и значений функции в них, необходимо изучить поведение функции при  и . Сравнивая полученные значения, получают наибольшее или наименьшее значения функции или обосновывается факт отсутствия таких значений.

В случае бесконечных промежутков , ,  и др. схема исследований аналогична. Наибольшее и наименьшее значения функции на числовом промежутке называют глобальными экстремумами функции.

 

 

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения  на отрезке .

Решение. , причем производная определена всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: . Итак,  и  – стационарные точки. При этом , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Вычисляем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка: ; ; .

Сравнивая значения, получаем: , .

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения  в интервале .

Решение. , причем производная не существует при   и . Эти точки являются критическими. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: , т.е. . Итак, - стационарная точка. При этом   и , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Вычисляем значения исходной функции в выбранных точках:

, .

Находим предельные значения функции на границах интервала:

;

.

Эти значения в точках  и  функция не достигает, поскольку эти точки не принадлежат интервалу .

Сравнивая , ,  и , получаем  не существует, .

При решении задач практического характера полезно пользоваться следующим фактом.

Пусть функция  определена на открытом числовом интервале   и имеет на нем единственную стационарную точку . Если  – точка локального максимума, то ; если  - точка локального минимума, то

Пример 3. Определить наибольшую площадь равнобедренного треугольника, вписанного в круг радиуса .

Решение. Пусть  и , тогда ,  – острый угол. Из теоремы синусов имеем

, а

.

.

 – стационарная точка функции .

 – точка локального максимума, так как функция   непрерывна на  и имеет единственную точку локального максимума, то в этой точке обязательно достигается наибольшее значение функции на этом интервале. Найдем  (кв.ед.)

8.Направления выпуклости графика функции одной переменной. Точки перегиба

Пусть функция  имеет конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала . Обозначим  дугу графика функции , соответствующую интервалу .

Определение. Если дуга  лежит не ниже (не выше) касательной к графику функции , проведенной в любой точке , то функция или график функции называется выпуклым вниз (соответственно выпуклым вверх) в интервале  (рис. 6 а).

Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, называется точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости (рис. 6 б,в).

Заметим, что в точке перегиба требуется существование касательной к графику.

В некоторых учебных пособиях выпуклую вверх функцию называют вогнутой, а выпуклую вниз функцию - выпуклой. Мы будем также пользоваться этими терминами, когда это удобно.

Теорема (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Если функция   дифференцируема дважды в интервале  и в ней  (), то  является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале .

Необходимое условие точки перегиба. Если  - точка перегиба функции , то либо и , либо  не существует (рис. б, в). Следовательно, абсциссы точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция  имеет производную (может быть бесконечную) в точке , существует вторая производная в проколотой окрестности точки  и либо , либо  не существует. Тогда если при переходе через   меняет знак, то  является точкой перегиба.

При решении задач на поиск точек перегиба графика функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений

1) Установить область определения функции .

2) Найти вторую производную .

3) Выяснить, в каких точках из области определения вторая производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение ) или не существует.

4) Установить знак второй производной на числовых интервалах, на которые найденные точки разбили область определения, и определить направления выпуклости (если , то график функции направлен выпуклостью вверх, т.е. Ç; если  - выпуклостью вниз, т.е. È).

5) Если при переходе через найденную точку  направление выпуклости меняется, то точка  – точка перегиба графика функции.

9.Асимптоты графика функции

Определение. Прямая  называется асимптотой кривой , если расстояние от точки   кривой до прямой  стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. стремление хотя бы одной из координат точки к бесконечности). Пример показан на рис. 7 а.

Нахождение вертикальных асимптот. Если  - точка разрыва II рода функции , то прямая  является вертикальной асимптотой. Например, если то точка графика при  бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте  с левой стороны (рис. 7 в, ).

 


Вертикальная асимптота может быть в точке, являющейся границей области определения функции, если односторонний предел в этой точке равен  или  (рис. 7 в).

Нахождение горизонтальных асимптот. Если  (или ), то прямая  является горизонтальной асимптотой при   (или ).

Нахождение наклонных асимптот. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где угловой коэффициент. Коэффициенты  и  при  () находят по формулам:

.

Замечание. В формулах подразумевается, что оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из них не существует, то наклонной асимптоты у графика функции нет.

Замечание. Если пределы конечны и , то график имеет горизонтальную асимптоту   при  (). Поэтому если существует горизонтальная асимптота при  (), то нет наклонной асимптоты при  ().

Математика, сопротивление материалов, электротехника лекции, задачи