Интегралы - Примеры и задачи

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$

Возьмём $u=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ , тогда $dv=x\,dx$ ; формула интегрирования по частям даёт:

$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx= \left\vert\begin{array}... ... \frac{x^2}{2}\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\frac{1}{2}\int\frac{x^2dx}{1+x^2}.$

Преобразуем интеграл в правой части так, чтобы привести его к табличным интегралам:

$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx =\frac{x^2}{2}\mathop{\r... ...\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\frac{1}{2}\int\Bigl(1-\frac{1}{1+x^2}\Bigr)\,dx=$
$\displaystyle =\frac{x^2}{2}\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\frac{1}{2}\Bigl(x-\m... ...ts x\Bigr)+C =\frac{1}{2}\Bigl((x^2+1)\mathop{\rm arctg}\nolimits x-x\Bigr)+C.$

Ответ: $\int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx=\frac{1}{2}\Bigl((x^2+1)\mathop{\rm arctg}\nolimits x-x\Bigr)+C.$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Определённый интеграл и его свойства
Свойства определённого интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом
Формула замены переменного в определённом интеграле
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго рода
Свойства несобственных интегралов
Приближённое вычисление определённых интегралов
Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям
Площадь области, лежащей между двумя графиками
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
Вычисление длины плоской линии
Площадь поверхности вращения

Расчет электрических цепей купить подарочные книги Цепи постоянного и переменного тока продажа натяжных потолков Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Готов действовать до результата - автоломбард кредит . Кредит без справки о доходах. Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники