Интегралы - Примеры и задачи

Пример 1.19 Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$

Для этого, проинтегрировав по частям, преобразуем интеграл в правой части, так чтобы выделился исходный интеграл

. Полученное равенство рассмотрим как уравнение относительно

, откуда и получим ответ. Итак,

$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx= \left\vert\begin{array}{l} u=\sqrt{1-x^... ...\ v=x \end{array}\right\vert= x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{x^2dx}{\sqrt{1-x^2}}=$
$\displaystyle =x\sqrt{1-x^2}-\int\frac{(1-x^2)-1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx= x\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}\,dx+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=$
$\displaystyle =x\sqrt{1-x^2}-I+\arcsin x+C.$

Перенося

в левую часть и деля на 2, получаем: $\displaystyle I=\frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\Bigr)+C.$

Ответ: $I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx= \frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\Bigr)+C.$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;