Примеры и задачи по высшей математике

Пример 9.3 Найдём квадратичное приближение для функции

в окрестности точки

и вычислим приближённо значение выражения $0{,}98^{1{,}05}$ .

Имеем:

$\displaystyle f(1;1)=1^1=1;$
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1;1)=yx^{y-1} \Bigl\vert _{x=1;y=1... ... \frac{\partial f}{\partial y}(1;1)= x^y\ln x\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1^1\ln1=0;$
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x^2}(1;1)= y(y-1)x^{y-2}\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1\cdot0\cdot1^{-1}=0;$
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x\pat y}(1;1)= \Bigl(yx^{y-1}\ln x+x^y\cdot\frac{1}{x}\Bigr)\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1\cdot1^0\ln1+ 1^0=1;$
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat y^2}(1;1)= x^y\ln^2x\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1^1(\ln1)^2=0.$

Поэтому искомое приближение будет иметь вид

$\displaystyle f(x;y)=x^y\approx1+1(x-1)+0(y-1)+$
$\displaystyle +\frac{1}{2}(0(x-1)^2+2\cdot1(x-1)(y-1)+0(y-1)^2)= 1+(x-1)+(x-1)(y-1).$

Подставляя сюда и , получаем:

$\displaystyle 0{,}98^{1{,}05}\approx1+(-0{,}02)+(-0{,}02)\cdot0{,}05=0{,}979.$

Ответ: $f(x;y)=x^y\approx1+(x-1)+(x-1)(y-1);$ $0{,}98^{1{,}05}\approx0{,}979.$

С помощью формулы Тейлора можно получать разложение многочленов от переменных $x_1;\dots;x_n$ по степеням биномов $(x_1-x_1^0),\ \dots,\ (x_n-x_n^0)$ .

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Определённый интеграл и его свойства
Свойства определённого интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом
Формула замены переменного в определённом интеграле
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго рода
Свойства несобственных интегралов
Приближённое вычисление определённых интегралов
Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям
Площадь области, лежащей между двумя графиками
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
Вычисление длины плоской линии
Площадь поверхности вращения

Расчет электрических цепей Магазин пломб - Пластиковые пломбы. Пломба индикаторная . Цепи постоянного и переменного тока Миллион книг по 50 рублей - конструкторы лего интернет-магазин . Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Духи Clinique. Приятная цена - Clinique духи . Парфюмерия и косметика. Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля профессиональные фотографии Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Дизайн проект: дизайн студия интерьера . Дизайнеры Интерьера на любой вкус. Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока запчасти для экскаваторов hitachi Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники