Примеры и задачи по высшей математике

Пример 9.2 Найдём разложение по формуле Тейлора для функции $\displaystyle f(x;y)=e^x\sin y$

в точке

, до слагаемых третьего порядка включительно.

Значение функции в точке : $f(0;0)=e^0\sin0=0$ .

Частные производные первого порядка равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=e^x\sin y;\ \frac{\partial f}{\partial y}=e^x\cos y;$

их значения в точке

:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0;0)=0;\ \frac{\partial f}{\partial y}(0;0)=1.$

Частные производные второго порядка равны

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x^2}=e^x\sin y;\ % \frac{\pat^2f}{\pat x\pat... ...ac{\pat^2f}{\pat y\pat x}= e^x\cos y;\ % \frac{\pat^2f}{\pat y^2}=-e^x\sin y;$

их значения в точке

:

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x^2}(0;0)=0;\ % \frac{\pat^2f}{\pat x\pat y}... ...)= \frac{\pat^2f}{\pat y\pat x}(0;0)= 1;\ % \frac{\pat^2f}{\pat y^2}(0;0)=0.$

Наконец, частные производные третьего порядка равны

$\displaystyle \frac{\pat^3f}{\pat x^3}=e^x\sin y;\ % \frac{\pat^2f}{\pat x^2\p... ...\pat^3f}{\pat x\pat y^2}= -e^x\sin y;\ % \frac{\pat^3f}{\pat y^3}=-e^x\cos y;$

их значения в точке

:

$\displaystyle \frac{\pat^3f}{\pat x^3}(0;0)=0;\ % \frac{\pat^2f}{\pat x^2\pat ... ... \frac{\pat^3f}{\pat x\pat y^2}(0;0)= 0;\ % \frac{\pat^3f}{\pat y^3}(0;0)=-1.$

Значит, формула Тейлора, учитывающая слагаемые до третьего порядка включительно, такова:

$\displaystyle f(x;y)=e^x\sin y\approx$
$\displaystyle \approx0+0\cdot(x-0)+1\cdot(y-0)+$
$\displaystyle +\frac{1}{2!}\Bigl(0\cdot(x-0)^2+2\cdot1\cdot(x-0)(y-0)+0\cdot(y-0)^2\Bigr)+$
$\displaystyle +\frac{1}{3!}\Bigl(0\cdot(x-0)^3+3\cdot1\cdot(x-0)^2(y-0)+ 3\cdot0\cdot(x-0)(y-0)^2+(-1)\cdot(y-0)^3\Bigr)=$
$\displaystyle =y+xy+\frac{1}{2}x^2y-\frac{1}{6}y^3.$

Ответ: $f(x;y)=e^x\sin y\approx y+xy+\frac{1}{2}x^2y-\frac{1}{6}y^3.$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Определённый интеграл и его свойства
Свойства определённого интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом
Формула замены переменного в определённом интеграле
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго рода
Свойства несобственных интегралов
Приближённое вычисление определённых интегралов
Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям
Площадь области, лежащей между двумя графиками
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
Вычисление длины плоской линии
Площадь поверхности вращения

Расчет электрических цепей Интересная работа и доход! Легко - свой бизнес . Цепи постоянного и переменного тока адиб 92 Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Защитные рольставни для Вас: рольставни Самара . Встроенные рольставни в коттеджи. Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля TANDBERG 1000 MXP - видео телефон , cистема аудио- и видеосвязи бизнес-класса. Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Рулонный газон от 70 р/м2: газон . Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники