Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Отдохнуть в Болгарии? Да: недвижимость в болгарии. Основы ТОЭ | Электрические цепи | Срочно продам запчасти в Москве - запчасти краз. Покупка и продажа запчастей. Функции | Производные | Матрицы | Межкомнатные двери от 2 300 руб - двери торэкс. TOREX двери входные и технические. Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Курс лекций по высшей математике Матрица Гессе

  Пример 9.1   Рассмотрим функцию $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2e^{x_1+x_2}+x^2_2e^{x_1-x_2}.$

 

Покажем, что начало координат $ O(0;0)$  -- это стационарная точка функции $ f$ , и найдём квадратичное приближение функции $ f$ в окрестности начала координат.

Частные производные первого порядка равны

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}=(2x_1+x_1^2)e^{x_1+x_2}+x_2^2e^{x... ...;\ % \frac{\partial f}{\partial x_2}=x_1^2e^{x_1+x_2}+(2x_2-x_2^2)e^{x_1-x_2}.$

При $ x_1=0$ и $ x_2=0$ обе частные производные, действительно, обращаются в 0, так что точка $ O$  -- стационарная. Вычислим элементы матрицы Гессе $ H(0;0)$ функции $ f$ в точке $ O$ :

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1^2}=(2+4x_1+x_1^2)e^{x_1+x_2}+x^2_2e^{x_1-x_2};$

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}= \frac{\pat^2f}{\pat x_2\pat x_1}= (2x_1+x_1^2)e^{x_1+x_2}+(2x_2-x^2_2)e^{x_1-x_2};$

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_2^2}=x_1^2e^{x_1+x_2}+(2-4x_2+x^2_2)e^{x_1-x_2}.$

При $ x_1=0$ и $ x_2=0$ получаем:

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1^2}(0;0)=2; \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}= \frac{\pat^2f}{\pat x_2\pat x_1}=0; \frac{\pat^2f}{\pat x_2^2}=2. $

Значит,

 

$\displaystyle H(0;0)= \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}.$

Так как значение $ f(0;0)$ равно 0, то квадратичное приближение функции $ f(x)$ в окрестности начала координат выглядит так:

 

$\displaystyle f(x_1;x_2)\approx\frac{1}{2}\;(x_1;x_2) \begin{pmatrix} 2&0\\ ... ...{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =\frac{1}{2}(2x_1^2+2x_2^2)=x_1^2+x_2^2.$

Таким образом, при небольших $ \vert x\vert$ функция приближённо равна $ \vert x\vert^2$ .     

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

Определённый интеграл и его свойства

Несобственные интегралы

Приближённое вычисление определённых интегралов

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

 
Расчет электрических цепей Автосервис Москва ремонт hyundai getz. Двигателя ремонт kia автосервис москва . Цепи постоянного и переменного тока Чешское стекло Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники