Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | троллы представляют собой рекламное полотно. Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Математика Свойства градиента и производной по направлению

    Пример 8.3   Поверхностями уровня линейной функции $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

 

служат плоскости, заданные уравнениями

 

$\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3=C,$

то есть

 

$\displaystyle 2x_1+3x_2-5x_3-C=0.$

При изменении $ C$ эта плоскость сдвигается, так что при разных значениях $ C_1$ и $ C_2$ поверхности уровня -- плоскости

 

$\displaystyle 2x_1+3x_2-5x_3-C_1=0$ и $\displaystyle 2x_1+3x_2-5x_3-C_2=0$

параллельны друг другу.     

Заметим, что если функция $ f(x)$ задана в области $ {\Omega}$ , то через каждую точку $ x^0$ области $ {\Omega}$ проходит некоторая поверхность уровня (а именно, поверхность уровня $ C=f(x^0)$ ). Поверхности уровня, соответствующие разным значениям $ C$ , не пересекаются друг с другом. (Действительно, если бы поверхности $ f(x)=C_1$ и $ f(x)=C_2$ , где $ C_1\ne C_2$ , пересекались в некоторой точке $ x^0$ , то функция $ f$ принимала бы в точке $ x^0$ , с одной стороны, значение $ C_1$ , а с другой стороны -- значение $ C_2\ne C_1$ , что невозможно.)

Итак, при передвижении точки $ x\in\mathbb{R}^n$ по поверхности уровня функции $ f$ значения $ f(x)$ не изменяются. Если поверхность уровня представляет собою плоскость $ a_1x_1+\ldots+a_n=C$ , то вдоль любой оси $ \ell$ , лежащей в этой плоскости, производная по направлению $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}$ будет равняться 0, так как во всех точках оси функция $ f$ принимает одно и то же значение $ C$ . Значит, вектор $ \mathop{\rm grad}\nolimits f$ , вычисленный в любой точке этой плоскости, ей перпендикулярен.

Так же обстоит дело и в случае, когда поверхность уровня -- это не обязательно плоскость (но произвольная поверхность): в этом случае градиент оказывается перпендикулярным к касательной плоскости, проведённой к этой поверхности уровня.

Наводящие соображения при этом таковы. Во всех точках поверхности $ {S=\{f(x)=C\}}$ значение функции $ f$ постоянно и равно $ C$ . Рассмотрим поверхность близкого уровня $ C'=C+{\Delta}C$ : $ S'=S_{C+{\Delta}C}$ . Тогда разность значений функции $ f$ в точках поверхностей $ S'$ и $ S$ постоянна и равна $ {\Delta}C$ . Рассмотрим произвольную ось $ \ell$ , проходящую через точку $ x^0$ . Эта ось пересекает поверхность $ S'$ в некоторой точке $ x'$ .

Рис.8.2.



Тогда

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)= \lim_{\substack{\vert x-x^... ... \frac{f(x')-f(x^0)}{\vert x'-x^0\vert}= \frac{{\Delta}C}{\vert x'-x^0\vert}.$

(Приближённое равенство тем точнее, чем меньще $ {\Delta}C$ .) Пусть для простоты $ {\Delta}C>0$ . При постоянном $ {\Delta}C$ последняя дробь принимает наибольшее значение, если знаменатель минимален, то есть точка $ x'\in S'$  -- ближайшая к поверхности $ S$ . Очевидно, что такая точка должна лежать на перпендикуляре к касательной плоскости $ L$ , проведённой к $ S$ в точке $ x^0$ , то есть $ x'\in\ell\bot L$ .

С другой стороны, направление, в котором производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)$ максимальна -- это направление вектора $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ . Значит, направление вектора $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ перпендикулярно касательной плоскости $ L$ , что и требовалось получить.

Более точную формулировку даёт следующая

        Теорема 8.2   Пусть поверхность уровня $ S=\{f(x)=C\}$ дифференцируемой функции $ f(x)$ ($ x\in{\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ ) такова, что в точке $ x^0\in S$ можно провести к $ S$ касательную плоскость $ L$ (размерности $ n-1$ ). Тогда вектор $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ перпендикулярен плоскости $ L$ .

        Доказательство.     Если $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)=0$ , то утверждение теоремы верно. Предположим теперь, что $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\ne0$ . Значит, хотя бы одна из компонент градиента отлична от 0; предположим для определённости, что это $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}}(x^0)\ne0$ . Тогда, согласно теореме о неявной функции, из уравнения

 

$\displaystyle f(x)-C=0$

переменную $ x_n$ можно выразить через остальные переменные $ x_1;\dots;x_{n-1}$ , по крайней мере в некоторой окрестности точки $ (x^0_1;\dots;x^0_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}$ :

 

$\displaystyle f(x)=C\ \Longleftrightarrow \ x_n={\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1}).$

Таким образом, в некоторой окрестности точки $ x^0\in S$ поверхность $ S$ можно представить как график функции $ {\varphi}$ , которая зависит от $ n-1$ переменного и задана в некоторой окрестности точки $ x^*=(x_1^0;\dots;x^0_{n-1})$ . Касательная плоскость к поверхности $ S$ задаётся тогда уравнением

 

$\displaystyle x_n-x_n^0=\frac{\partial{\varphi}}{\partial x_1}(x^*)(x_1-x^0_1)+\ldots+ \frac{\partial{\varphi}}{\partial x_{n-1}}(x^*)(x_{n-1}-x^0_{n-1}).$

Однако производные неявно заданной функции $ {\varphi}$ вычисляются так:

 

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x_1}(x^*)=-\frac{\frac{\partial... ...ac{\partial f}{\partial x_{n-1}}(x^0)}{\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)}, $

так что, умножая левую и правую части уравнения касательной плоскости на $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}}(x^0)\ne0$ и перенося все слагаемые в левую часть, можем записать уравнение касательной плоскости в виде

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)(x_1-x_1^0)+\ldots+\frac{\par... ...-1}}(x^0)(x_{n-1}-x_{n-1}^0)+ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)(x_n-x_n^0).$

Эта плоскость перпендикулярна вектору, компонентами которого служат коэффициенты при $ x_1;\dots;x_n$ , то есть вектору

 

$\displaystyle \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0);\ldots;\frac{\partial ... ...\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\Bigr)=(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0),$

что и требовалось доказать.     

        Замечание 8.1   Заметим, что заодно мы получили уравнение касательной плоскости к поверхности уровня $ f(x)=C$ в виде

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)(x_1-x_1^0)+\ldots+\frac{\par... ...-1}}(x^0)(x_{n-1}-x_{n-1}^0)+ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)(x_n-x_n^0),$ (8.2)

где $ x^0$  -- точка касания. Это уравнение можно также записать в виде

 

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot(x-x^0)=0,$

где точка $ \cdot$ означает скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что любую поверхность, заданную уравнением

 

$\displaystyle f(x)=0,$

мы можем рассматривать как поверхность уровня $ C=0$ для функции $ f(x)$ .     

    

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;