Вычислим интеграл от интегральной экспоненты

Пример Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

Заметим, что $(\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x))'=\frac{\textstyle{e^x}}{\textstyle{x}}$ по определению первообразной. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

$\displaystyle \int\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)\,dx= \left\vert\begin{arra... ...imits (x)\\ dv=dx\\ du=\frac{e^x}{x}\,dx\\ v=x \end{array}\right\vert={}$ $\displaystyle {}=x\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)-\int x\cdot\frac{e^x}{x}\,d... ...thrm{Ei}}\nolimits (x)-\int e^x\,dx= x\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)-e^x+C.$

Кроме приведённых выше, в приложениях встречаются и многие другие неберущиеся интегралы, например:

$\displaystyle \int\sin\frac{\pi x^2}{2}dx=\mathcal{S}(x)+C;\ % \int\cos\frac{\... ...}(x)+C;\ % \int\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx;\ % \int\frac{\cos x}{\sqrt{x}}dx.$

Эти четыре интеграла называются интегралами Френеля.

Упражнение 1.4 Сделав соответствующую замену переменного, выразите последние два из интегралов Френеля через функции $\mathcal{S}(x)$ и $\mathcal{C}(x)$ , которые стоят в правых частях первых двух интегралов Френеля.

Не берутся также интегралы

$\displaystyle \int e^{x^2}dx;\ % \int\frac{x\;dx}{\sin x};\ \int\sqrt{x}\,e^x\,dx;\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}; \ \int\sqrt[3]{x^2+1}\,dx$

и многие другие.

Тем не менее, для многих классов интегралов, наиболее часто встречающихся в приложениях, первообразную всё же удаётся выразить через элементарные функции. В следующей главе мы изучим такие классы интегралов.

Упражнение 1.5 С помощью соответствующих замен переменного, докажите следующие соотношения:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)=\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (e^x)+C$ (при $\displaystyle x<0);\ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (\ln x)=\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (x)+C$ (при $\displaystyle x<1)$

(на самом деле функции $\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits$ и $\mathop{\mathrm{li}}\nolimits$ определяются так, что обе постоянные

равны 0).

Интегралы - О "неберущихся" интегралах