Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл

Пример 1.13 Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Для этого сделаем замену переменного $z=\sqrt{2}\,x$ :

$\displaystyle \int e^{-x^2}dx=\left\vert\begin{array}{l} z=\sqrt{2}x\\ x^2=\frac{z^2}{2}\\ dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\,dz \end{array}\right\vert={}$
$\displaystyle {}=\int e^{-\frac{z^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\,dz=\frac{1}{\sqrt{2... ...z^2}{2}}dz=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2}}\Phi(z)+C= \sqrt{\pi}\Phi(\sqrt{2}x)+C.$

Заметим, что та первообразная для $\int e^{-x^2}dx=F(x)+C$ , для которой

, обозначается $\frac{2}{\sqrt{\pi}}\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ . Функция $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ называется в теории вероятностей и статистике функцией ошибок.

Упражнение 1.3 Выразите функцию ошибок $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ через функцию Лапласа $\Phi(x)$ и наоборот, функцию Лапласа через функцию ошибок.

Пример 1.14 К интегралу предыдущего примера можно свести и тем самым выразить через функцию Лапласа, например, такой интеграл:

$\displaystyle \int x^2e^{-x^2}dx= \int x\Bigl(e^{-x^2}x\,dx\Bigr)= \left\vert... ... dv=e^{-x^2}x\,dx\\ du=dx\\ v=-\frac{1}{2}e^{-x^2} \end{array}\right\vert=$
$\displaystyle =-\frac{x}{2}e^{-x^2}+\frac{1}{2}\int e^{-x^2}dx= -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{\pi}}{2}\Phi(\sqrt{2}x)+C.$

Для вычисления мы применили формулу интегрирования по частям.

Интегралы - О "неберущихся" интегралах