Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл

Пример 1.13 Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Для этого сделаем замену переменного $z=\sqrt{2}\,x$ :

$\displaystyle \int e^{-x^2}dx=\left\vert\begin{array}{l} z=\sqrt{2}x\\ x^2=\frac{z^2}{2}\\ dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\,dz \end{array}\right\vert={}$
$\displaystyle {}=\int e^{-\frac{z^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\,dz=\frac{1}{\sqrt{2... ...z^2}{2}}dz=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2}}\Phi(z)+C= \sqrt{\pi}\Phi(\sqrt{2}x)+C.$

Заметим, что та первообразная для $\int e^{-x^2}dx=F(x)+C$ , для которой

, обозначается $\frac{2}{\sqrt{\pi}}\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ . Функция $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ называется в теории вероятностей и статистике функцией ошибок.

Упражнение 1.3 Выразите функцию ошибок $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ через функцию Лапласа $\Phi(x)$ и наоборот, функцию Лапласа через функцию ошибок.

Пример 1.14 К интегралу предыдущего примера можно свести и тем самым выразить через функцию Лапласа, например, такой интеграл:

$\displaystyle \int x^2e^{-x^2}dx= \int x\Bigl(e^{-x^2}x\,dx\Bigr)= \left\vert... ... dv=e^{-x^2}x\,dx\\ du=dx\\ v=-\frac{1}{2}e^{-x^2} \end{array}\right\vert=$
$\displaystyle =-\frac{x}{2}e^{-x^2}+\frac{1}{2}\int e^{-x^2}dx= -\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{\pi}}{2}\Phi(\sqrt{2}x)+C.$

Для вычисления мы применили формулу интегрирования по частям.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Определённый интеграл и его свойства
Свойства определённого интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом
Формула замены переменного в определённом интеграле
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго рода
Свойства несобственных интегралов
Приближённое вычисление определённых интегралов
Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям
Площадь области, лежащей между двумя графиками
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
Вычисление длины плоской линии
Площадь поверхности вращения

Расчет электрических цепей Аутизм диагностируют игрушками - аутизм у детей . Вопрос про аутизм? Цепи постоянного и переменного тока Получение водительских прав: автошколы санкт-петербурга . Автошколы и вождение. Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей База квартир на вторичном рынке: квартиры дмитров . Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники