Интегралы - О "неберущихся" интегралах

Пример 1.10 Ещё один неберущийся интеграл: $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

Одна из первообразных -- та, что мы использовали в правой части и обозначили $\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)$ -- называется интегральным косинусом.

Пример 1.11

$\displaystyle \int\frac{e^x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)+C$ --

это тоже неберущийся интеграл. Одна из первообразных, которую мы обозначили $\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ , -- специальная функция, называющаяся интегральной экспонентой.

Пример 1.12 Не берётся интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{\ln x}=\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (x)+C$ (при $\displaystyle x>0);$

одна из первообразных, $\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (x)$ , называется интегральным логарифмом.

Используя специальные функции, заданные предыдущими примерами, мы с помощью изученных выше правил интегрирования можем выражать через эти функции и другие интегралы. Приведём такой пример.