Интегралы - О "неберущихся" интегралах

Пример 1.8 Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили $\sqrt{2\pi}\Phi(x)$ , выделяется из всего набора первообразных условием $\Phi(0)=0$ . Функция $\Phi(x)$ называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала. Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.

Пример 1.9 Не берётся также интеграл

$\displaystyle \int\frac{\sin x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Si}}\nolimits (x)+C.$

Доопределим подынтегральную функцию $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ , полагая её равной 1 при

. В соответствии с тем, что $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ , доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразных

выделим ту, для которой

. Эта неэлементарная функция называется интегральным синусом и обозначается $\mathop{\mathrm{Si}}\nolimits (x)$ . Именно её мы использовали в приведённой выше формуле.