Курс лекций Выпуклые множества и функции

Теорема 7.21 Любая точка локального минимума функции , выпуклой в области ${\Omega}$ , даёт наименьшее значение функции во всей области ${\Omega}$ ;
любая точка локального максимума функции , выпуклой в области ${\Omega}$ , даёт наибольшее значение функции во всей области ${\Omega}$ .

Доказательство. Очевидно, что достаточно доказать лишь первое утверждение: второе следует из него сменой знака функции.

Пусть -- точка локального минимума, а в некоторой другой точке функция имеет меньшее значение: . Тогда в точках отрезка, соединяющего с , то есть точках $x^{{\theta}}=(1-{\theta})x^0+{\theta}x^1$ , при всех ${\theta}>0$ значения функции будут меньше, чем в точке :

$\displaystyle f(x^{{\theta}})=f((1-{\theta})x^0+{\theta}x^1)\leqslant (1-{\theta})f(x^0)+{\theta}f(x^1)< (1-{\theta})f(x^0)+{\theta}f(x^0)=f(x^0).$

Но точки $x^{{\theta}}$ с ${\theta}>0$ имеются в любой, сколь угодно малой, окрестности точки

, что противоречит предположению о том, что

-- точка локального минимума. Значит, неравенство

невозможно, и $f(x^1)\geqslant f(x^0)$ для любой точки $x^1\in{\Omega}$ . Это означает, что значение функции в точке локального минимума

-- наименьшее во всей области ${\Omega}$ .

Практическая ценность этого утверждения в том, что при поиске наименьшего значения выпуклой функции в области ${\Omega}$ достаточно найти любую точку локального минимума; во всех остальных точках локального минимуцма (если они существуют) значение функции будет точно такое же. Для невыпуклых функций это, конечно, не так, как видно на следующем рисунке:

Рис.7.21.

Имеет место также следующая

Теорема 7.22 Eсли функция строго выпукла в области ${\Omega}$ , то её точка минимума в ${\Omega}$ -- единственная.

Доказательство. Пусть в двух разных точках и функция принимает одно и то же значение $m=\min\limits_{x\in{\Omega}}f(x).$ Поскольку функция строго выпукла, то в точках $x^{{\theta}}=(1-{\theta})x^0+{\theta}x^1$ , не совпадающих с и с , должно выполняться неравенство

$\displaystyle f(x^{{\theta}})<(1-{\theta})f(x^0)+{\theta}f(x^1)=(1-{\theta})m+{\theta}m=m.$

Но это означает, что в точках $x^{{\theta}}$ , например, в середине отрезка $x^{\frac{1}{2}}\in{\Omega}$ , значение меньше

, что противоречит предположению о том, что значение

-- наименьшее во всей области. Значит, второй точки $x^1\ne x^0$ с тем же минимальным значением

нет.

рогого локального максимума. И в том и в другом случае значение

называется локальным максимумом функции