Пример Равенство смешанных частных производных

Пример 7.17 Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

непрерывны, то они совпадают, так как соответствующие списки номеров переменных равны, соответственно, $\{5;2;5;1;2\}$ и $\{1;2;2;5;5\}$ и отличаются лишь порядком перечисления номеров. Значит, частные производные отличаются лишь порядком дифференцирований, и поэтому

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}= \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}.$

В этом примере перестановки дифференцирований можно выполнить в следующем порядке:

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}= \frac{... ..._5\pat x_1\pat x_2}= \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_5\pat x_2}=$
$\displaystyle =\frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_1\pat x_5\pat x_5\pat x_2}= \frac... ..._5\pat x_5\pat x_2}= \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2\pat x_5\pat x_2\pat x_5}=$
$\displaystyle =\frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2\pat x_2\pat x_5\pat x_5}= \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}.$

При первой и четвёртой перестановках переставляемые диффиеренцирования -- внешние и выполняются непосредственным применением теоремы к функциям $\frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1\pat x_2}}(x)$ и $\frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_5\pat x_2}}(x)$ соответственно; эти производные третьего порядка предполагаются непрерывными. При остальных перестановках переставляются внутренние дифференцирования. При этом, например, при второй перестановке, рассуждаем так: имеем равенство

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_5\pat x_1\pat x_2}= \frac{... ...c{\pat^2}{\pat x_5\pat x_1}\bigl(\frac{\partial f}{\partial x_2}\bigr)\Bigr).$

Функции $\frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr)$ и $\frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_1\pat x_5}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr)$ непрерывны по предположению, так как содержат меньше дифференцирований по

, чем исходные производные пятого порядка, и столько же дифференцирований по остальным переменным. Поэтому

$\displaystyle \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1}}\bigl(\dis... ...e{\pat x_1\pat x_5}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr),$

и мы можем продолжить равенство:

$\displaystyle \frac{\pat^2}{\pat x_2\pat x_5}\Bigl( \frac{\pat^2}{\pat x_5\pat... ... x_2}\bigr)\Bigr)= \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_5\pat x_2},$

и вторая перестановка обоснована.

Курс лекций Равенство смешанных частных производных