Формула интегрирования по частям Свойства неопределённого интеграла

Формула интегрирования по частям.

Пример 1.7 Найдём интеграл $\int\ln x\,dx$ . Здесь разбить подынтегральное выражение $\ln x\,dx$ на два множителя

можно только так: $u=\ln x$ и

. При этом дифференцирование

приводит к упрощению (то есть к "улучшению", с точки зрения вычисления интеграла): $du=(\ln x)'dx=\frac{dx}{x}$ , при этом "исчез" логарифм, который можно считать более сложной функцией, чем степень

. Интегрирование же множителя

даёт

, то есть не сильно "ухудшает" этот множитель. Поэтому оправдано применение интегрирования по частям:

$\displaystyle \int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\frac{dx}{x}=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C.$

Замечание 1.3 К сожалению, природа устроена так, что никакой простой формулы, позволяющей вычислить интеграл от произведения двух функций, подобно тому, как мы вычисляем производную произведения, не существует. Всё, что можно предложить по этому поводу -- это формула интегрирования по частям.

Дадим советы по наиболее часто встречающимся случаям применения этой формулы.

Если в подынтегральной функции содержатся как множители степень (где ) и синус, косинус или экспонента (показательная функция), то имеет смысл взять и дифференцировать, а к отнести синус, косинус или экспоненту, умноженные на , и интегрировать этот множитель. При этом степень при дифференцировании понизится, синус при интегрировании перейдёт в косинус, а косинус в синус (это не приведёт к сильному усложнению), экспонента же вовсе не изменится. В целом интеграл в правой части будет проще исходного.

Таким способом можно, например, вычислить интегралы $\int x^2e^{-2x}dx$ , $\int x\cos x\,dx$ , $\int x^3\sin3x\,dx$ и подобные им. Иной раз формулу интегрирования по частям приходится применять и к тому интегралу, что образовался в правой части после первого интегрирования по частям.

Упражнение 1.1 Найдите перечисленные интегралы с помощью интегрирования по частям.

Если же в подынтегральном выражении имеется степенная функция $x^{{\alpha}}$ и одна из функций $\ln,\ \arcsin,\ \arccos,\ \mathop{\rm arctg}\nolimits$ или $\mathop{\rm arcctg}\nolimits$ , то к дифференциалу лучше отнести $x^{{\alpha}}$ , а дифференцировать множитель, содержащий одну из перечисленных функций. Так мы и поступили в рассмотренном выше примере 1.7. Дело в том, что степенная функция при интегрировании остаётся степенной функцией, лишь показатель степени повышается на 1, а перечисленные функции при дифференцировании "улучшаются" (см. таблицу производных). По этому способу можно вычислить, например, интегралы $\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx$ , $\int x\arccos x\,dx$ , $\int\frac{\arcsin x}{x^2}\,dx$ , $\int\sqrt{x}\ln^2x\,dx$ .

Упражнение 1.2 Найдите перечисленные интегралы с помощью интегрирования по частям.

Указание. В первом из интегралов после применения формулы интегрирования по частям сделайте замену ${z=1+x^2}$ в образовавшемся в правой части интеграле.

При вычислении второго интеграла после интегрирования по частям получится интеграл ${I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx}$ . Его можно вычислить, применив снова формулу интегрирования по частям; при этом в правой части получается такой же интеграл , после чего находим из образовавшегося уравнения:

$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\left\vert\begin{array}{l} u=\sqrt{1-x^2}... ...^2}}dx \end{array} \right\vert=x\sqrt{1-x^2}-\int\frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=$
$\displaystyle =x\sqrt{1-x^2}-\int\frac{(1-x^2)-1}{\sqrt{1-x^2}}dx= x\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}\,dx+\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=$
$\displaystyle =x\sqrt{1-x^2}-I+\arcsin x+C.$

Получаем уравнение

$\displaystyle I=x\sqrt{1-x^2}-I+\arcsin x+C,$

откуда находим

$\displaystyle I=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)+C.$

После интегрирования по частям в третьем интеграле в правой части получается интеграл $\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}$ . Преобразуйте его к виду $\int\frac{dx}{x^2\,\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}$ (при каком предположении такое преобразование можно сделать?) и сделайте замену $z=\frac{1}{x}$ .

Наконец, для вычисления четвёртого интеграла примените формулу интегрирования по частям последовательно два раза.

Ниже мы разберём вычисление этих интегралов подробнее.