Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Формула интегрирования по частям неопределёный интеграл

 

 

    Пример 1.6   Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям. Положим $ u=x$ и $ dv=e^x\,dx$ . Тогда $ du=dx$ и $ v=e^x$ . Значит,

 

$\displaystyle \int e^xx\,dx=\left\vert\begin{array}{l} u=x\\ dv=e^xdx\\ du=dx\\ v=e^x \end{array}\right\vert= xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C.$

(Между вертикальными линиями записывается комментарий, как и в случае применения замены переменных и других вычислений с интегралами. Содержимое комментария не является частью формулы и записывается для удобства. В принципе, писать этот комментарий не обязательно, хотя и очень полезно.)

Здесь интеграл, получившийся в правой части при применении интегрирования по частям, является табличным, то есть он оказался проще исходного, что и привело нас к успеху в вычислении.     

        Замечание 1.2   При переходе от левой части к правой части в формуле интегрирования по частям происходит следующее: от функции $ u=f(x)$ мы переходим к функции $ u'=f'(x)$ под знаком интеграла в правой части (точнее, к дифференциалу $ du=f'(x)dx$ ), то есть функцию $ u$ мы дифференцируем. Одновременно от функции $ v'=g'(x)$ (или от дифференциала $ dv=g'(x)dx$ ) мы переходим под интегралом в правой части к $ v=g(x)$ , то есть функцию $ v'$ мы интегрируем (напомним, что первообразная для $ g'(x)$ есть $ g(x)$ ).

Таким образом, применять формулу интегрирования по частям для вычисления неопределённого интеграла разумно в двух случаях:

а) либо когда функция $ u=f(x)$ "не слишком ухудшается" при дифференцировании, а функция $ v'=g'(x)$ "значительно улучшается" при интегрировании;

б) либо когда функция $ u=f(x)$ "значительно улучшается" при дифференцировании, а функция $ v'=g'(x)$ "не слишком ухудшается" при интегрировании.

Тогда дело в целом оправдано: происходит "некоторое улучшение" интеграла в правой части по сравнению с интегралом в левой части, в том смысле, что интеграл в правой части оказывается проще исходного.     

В разобранном выше примере мы дифференцировали функцию $ u=f(x)=x$ , от чего она "сильно улучшилась": $ u'=f'(x)=1$ . Функцию $ v'=e^x$ мы интегрировали, отчего она "не сильно ухудшилась" (точнее говоря, совсем не изменилась, поскольку $ \int e^xdx=e^x+C$ ). В результате интеграл в правой части оказался проще исходного.

Приведём ещё один пример, подкрепляющий эти эмпирические соображения:

 

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;