Формула интегрирования по частям

Свойства неопределённого интеграла

Формула интегрирования по частям.

Пусть функции и имеют производную на рассматриваемом интервале изменения . Тогда верно равенство

$\displaystyle \int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int g(x)\,f'(x)\,dx.$

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет "перебрасывать" производную с функции

, стоящей под знаком интеграла, на другой подынтегральный множитель

. При этом в правой части равенства появляется внеинтегральный член

Пусть -- первообразная для и -- первообразная для . Тогда равенство (1.5) можно записать в виде

$\displaystyle F(x)=f(x)g(x)-G(x)+C,$

где

-- некоторая постоянная. Докажем, что производные левой и правой частей совпадают. По определению,

. С другой стороны,

$\displaystyle (f(x)g(x)-G(x)+C)'=(f(x)g(x))'-G'(x)= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)-g(x)f'(x)=f(x)g'(x),$

то есть производные совпадают, и формула (1.5) доказана. Мы видим, что она является следствием формулы для производной произведения.

Вводя обозначения и и замечая, что и , мы можем записать формулу интегрирования по частям в виде

$\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.$

В таком кратком виде её рекомендуется запоминать.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности

;