Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | chicco polly Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Свойства неопределённого интеграла

Линейная замена.

Разберём особо случай, когда подынтегральная функция зависит от линейного выражения $ ax+b$ (где $ a\ne0$ ), то есть интеграл имеет вид $\displaystyle \int f(ax+b)\,dx.$

 

В этом случае интеграл можно упростить с помощью естественной замены $ z=ax+b$ , откуда $ x=\frac{1}{a}(z-b)$ и $ dx=\frac{1}{a}\,dz$ . Пусть известна первообразная $ F(z)$ для $ f(z)$ :
$\displaystyle \int f(z)\,dz=F(z)+C.$

Выполняя подстановку, получаем:
$\displaystyle \int f(ax+b)\,dx=\int f(z)\,\frac{1}{a}\,dz\Bigl\vert _{z=ax+b}= \frac{1}{a}\,F(z)+C\Bigr\vert _{z=ax+b}=\frac{1}{a}F(ax+b)+C.$

Полученную формулу $\displaystyle \int f(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$


мы будем далее широко использовать, не всегда делая ссылки на её номер (1.4). Эту формулу следует хорошо запомнить, в особенности то, что при интегрировании с помощью линейной замены вперёд выходит множитель $ \frac{\textstyle{1}}{\textstyle{a}}$ , а не $ a$ , как при дифференцировании функции $ f(ax+b)$ .

Например,

$\displaystyle \int\sin(ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C;\ % \int\cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin(ax+b)+C$

и т. п. При $ f(z)=\frac{1}{z}$ получаем
$\displaystyle \int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln\vert ax+b\vert+C$

и, в частности, при $ a=1$
$\displaystyle \int\frac{dx}{x+b}=\ln\vert x+b\vert+C.$

Последнюю формулу полезно рассматривать как табличную.

 

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;