Формула замены переменного Свойства неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла

Формула замены переменного

Пример 1.5 Вычислим интеграл $\int e^{x^2}x\,dx$ . Возьмём $u={\varphi}(x)=x^2$ , тогда ${du=2x\,dx}$ и ${x\,dx=\frac{1}{2}du}$ . Подставляя это выражение под знак интеграла, получаем:

$\displaystyle \int e^{x^2}x\,dx=\left\vert\begin{array}{l} u=x^2\\ x\,dx=\fr... ...dot\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int e^udu= \frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.$

(Между двумя вертикальными чёрточками мы записываем комментарий к проделанным преобразованиям и сделанные обозначения. Эта запись не является обязательным элементом решения, но для понимания происходящего весьма полезна.)

Всюду, где выражение зависит от , имеется в виду подстановка ; освободившись от интеграла, мы выполняем эту подстановку в явном виде.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности

Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;